Lagrange-Rechner: Extrema mit Nebenbedingungen
Gesucht sind die größten und kleinsten Werte einer Funktion $f(x, y, z)$, wenn die Punkte nicht frei wählbar sind, sondern eine oder zwei Gleichungen erfüllen müssen – etwa auf einer Kugel und gleichzeitig in einer Ebene. Der Rechner stellt die Lagrange-Bedingungen auf, löst das Gleichungssystem exakt (und zur Sicherheit numerisch) und vergleicht die Funktionswerte.
Die Methode mit zwei Nebenbedingungen
Lagrange-Bedingungen
Gesucht: Extrema von $f(x, y, z)$ unter $g(x, y, z) = 0$ und $h(x, y, z) = 0$. Bilde die Lagrange-Funktion
$$L(x, y, z, \lambda, \mu) = f - \lambda\,g - \mu\,h$$
und setze alle fünf partiellen Ableitungen gleich 0:
$$\nabla f = \lambda\,\nabla g + \mu\,\nabla h,\qquad g = 0,\qquad h = 0.$$
Das sind fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten $x, y, z, \lambda, \mu$. Jede Lösung ist ein Kandidat für ein Extremum.
Warum funktioniert das? Zwei Flächen $g = 0$ und $h = 0$ schneiden sich meist in einer Kurve. Läuft man auf dieser Kurve entlang, bewegt man sich senkrecht zu $\nabla g$ und zu $\nabla h$. Im höchsten oder tiefsten Punkt ändert sich f in Laufrichtung nicht – also steht auch $\nabla f$ senkrecht zur Kurve und liegt in der Ebene, die $\nabla g$ und $\nabla h$ aufspannen. Genau das sagt $\nabla f = \lambda\nabla g + \mu\nabla h$.
Beispiel: höchster Punkt einer schrägen Ellipse
Ein Rohr mit Radius 2 (Zylinder $x^2 + y^2 = 4$) wird schräg abgesägt, die Schnittfläche liegt in der Ebene $2x + y + z = 6$. Der Rand des Schnitts ist eine Ellipse. Wo liegen ihr höchster und ihr tiefster Punkt? Gesucht sind also die Extrema von $f = z$.
$\nabla f = (0, 0, 1)$, $\nabla g = (2x, 2y, 0)$, $\nabla h = (2, 1, 1)$. Die dritte Gleichung $1 = 0\cdot\lambda + \mu$ liefert $\mu = 1$. Die ersten beiden: $0 = 2\lambda x + 2$ und $0 = 2\lambda y + 1$ – also $x = -\frac{1}{\lambda}$ und $y = -\frac{1}{2\lambda}$, d. h. $x = 2y$. Mit $x^2 + y^2 = 4$ folgt $5y^2 = 4$, also $y = \pm\frac{2}{\sqrt5}$, $x = \pm\frac{4}{\sqrt5}$, und aus der Ebene $z = 6 - 2x - y$:
$$P_1\left(-\tfrac{4}{\sqrt5} \mid -\tfrac{2}{\sqrt5} \mid 6 + 2\sqrt5\right)\ \text{(höchster Punkt)},\qquad P_2\left(\tfrac{4}{\sqrt5} \mid \tfrac{2}{\sqrt5} \mid 6 - 2\sqrt5\right)\ \text{(tiefster Punkt)}.$$
Gerundet liegt der höchste Punkt auf $z \approx 10{,}47$, der tiefste auf $z \approx 1{,}53$.
Die Ellipse ist beschränkt und abgeschlossen, also nimmt $f = z$ dort Maximum und Minimum an – und weil es nur diese zwei Kandidaten gibt, sind sie es.
Beispiel: Abstand zu einer Geraden
Die Ebenen $x + 2y + z = 6$ und $x - z = 0$ schneiden sich in einer Geraden. Der Punkt mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung minimiert $f = x^2 + y^2 + z^2$. Aus $2x = \lambda + \mu$, $2y = 2\lambda$, $2z = \lambda - \mu$ und $x = z$ folgt $\mu = 0$, also $x = z = \frac{\lambda}{2}$ und $y = \lambda$. Eingesetzt: $3\lambda = 6$, $\lambda = 2$ – der Punkt $(1 \mid 2 \mid 1)$ mit $f = 6$, Abstand $\sqrt6$. Ein Maximum gibt es auf der unbeschränkten Geraden nicht.
Kandidaten einordnen
- Beschränkte, abgeschlossene Nebenbedingungsmenge (Kugel, Ellipsoid, Kreis, Ellipse): f hat dort sicher ein Maximum und ein Minimum. Vergleiche die Funktionswerte aller Kandidaten – größter Wert = Maximum, kleinster = Minimum.
- Unbeschränkte Menge (Ebene, Gerade, Zylinder): Überlege, ob f dort beliebig groß oder klein werden kann. Beim Abstandsquadrat gibt es z. B. nur ein Minimum.
- Ausnahmepunkte: Sind $\nabla g$ und $\nabla h$ in einem Punkt linear abhängig (parallel), kann dort ein Extremum liegen, das die Lagrange-Gleichungen nicht finden. Der Rechner markiert solche Punkte.
Online üben: Extrema mit Nebenbedingungen
Stufe 1: eine Nebenbedingung
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Aufgabe 1
\(E:\ -x - y - 2z = 1\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(-1, -1, -2)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(-1, -1, -2),\) \(t = \frac{1}{6}\) \(\Rightarrow\; P(-\frac{1}{6} \mid -\frac{1}{6} \mid -\frac{1}{3})\)
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Aufgabe 2
\(E:\ -2x + 3z = 5\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(-2, 0, 3)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(-2, 0, 3),\) \(t = \frac{5}{13}\) \(\Rightarrow\; P(-\frac{10}{13} \mid 0 \mid \frac{15}{13})\)
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Aufgabe 3
\(E:\ -x + 3y = 3\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(-1, 3, 0)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(-1, 3, 0),\) \(t = \frac{3}{10}\) \(\Rightarrow\; P(-\frac{3}{10} \mid \frac{9}{10} \mid 0)\)
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Aufgabe 4
\(E:\ -x + y - 2z = -5\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(-1, 1, -2)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(-1, 1, -2),\) \(t = \frac{-5}{6}\) \(\Rightarrow\; P(\frac{5}{6} \mid -\frac{5}{6} \mid \frac{5}{3})\)
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Aufgabe 5
\(E:\ y + 3z = -2\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(0, 1, 3)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(0, 1, 3),\) \(t = \frac{-2}{10}\) \(\Rightarrow\; P(0 \mid -\frac{1}{5} \mid -\frac{3}{5})\)
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Aufgabe 6
\(E:\ 2x + y = -4\)\((x | y | z) =\)\((2x, 2y, 2z)\) \(= \lambda\,(2, 1, 0)\) \(\Rightarrow\; (x, y, z)\) \(= t\,(2, 1, 0),\) \(t = \frac{-4}{5}\) \(\Rightarrow\; P(-\frac{8}{5} \mid -\frac{4}{5} \mid 0)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Mit einer Nebenbedingung und zwei Variablen zeigt der Rechner für mehrere Variablen (Modus Lagrange) zusätzlich Höhenlinien und die geränderte Hesse-Matrix. Die Grundlagen stehen unter Extremwerte mit mehreren Variablen, die Einordnung freier Extrema unter Definitheit von Matrizen.
Weiterlesen: Lagrange-Multiplikator bei Wikipedia