Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation übersetzt eine Funktion der Zeit $f(t)$ in eine Funktion $F(s)$ einer neuen Variablen $s$. Der Clou: Aus Ableiten wird Multiplizieren mit $s$. Lineare Differentialgleichungen mit Anfangswerten werden dadurch zu gewöhnlichen Bruchgleichungen – lösen, zurückübersetzen, fertig.
Definition
Laplace-Transformierte
Für eine Funktion $f(t)$, die für $t \ge 0$ erklärt ist, heißt
$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,\mathrm{d}t$$
die Laplace-Transformierte (Bildfunktion) von $f$, $f$ selbst heißt Originalfunktion. Das Integral existiert, wenn $f$ höchstens exponentiell wächst ($|f(t)| \le M e^{\sigma t}$) und $s > \sigma$ ist. Schreibweise für die Zuordnung: $f(t) \;\circ\!\!-\!\!\bullet\; F(s)$.
Beispiel: die e-Funktion
Für $f(t) = e^{at}$ ist $e^{-st} e^{at} = e^{-(s - a)t}$. Für $s > a$ fällt dieser Term ab, und
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,\mathrm{d}t = \left[-\frac{e^{-(s-a)t}}{s - a}\right]_0^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{s - a}\right) = \frac{1}{s - a}.$$
Mit $a = 0$ folgt $\mathcal{L}\{1\} = \frac1s$. Für $s \le a$ divergiert das Integral – deshalb gehört zu jeder Transformierten ein Bereich $s > \sigma$.
Korrespondenztabelle
Fast niemand rechnet die Integrale jedes Mal aus. Man benutzt eine Tabelle der wichtigsten Paare ($n = 0, 1, 2, \ldots$; $a$, $\omega$ reelle Zahlen):
| Originalfunktion $f(t)$ | Bildfunktion $F(s)$ | gültig für |
|---|---|---|
| $1$ | $\frac{1}{s}$ | $s > 0$ |
| $t^n$ | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $s > 0$ |
| $e^{at}$ | $\frac{1}{s - a}$ | $s > a$ |
| $t^n e^{at}$ | $\frac{n!}{(s - a)^{n+1}}$ | $s > a$ |
| $\sin(\omega t)$ | $\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ | $s > 0$ |
| $\cos(\omega t)$ | $\frac{s}{s^2 + \omega^2}$ | $s > 0$ |
| $e^{at}\sin(\omega t)$ | $\frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$ | $s > a$ |
| $e^{at}\cos(\omega t)$ | $\frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}$ | $s > a$ |
| $\sinh(\omega t)$ | $\frac{\omega}{s^2 - \omega^2}$ | $s > |\omega|$ |
| $\cosh(\omega t)$ | $\frac{s}{s^2 - \omega^2}$ | $s > |\omega|$ |
| $t\sin(\omega t)$ | $\frac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}$ | $s > 0$ |
| $t\cos(\omega t)$ | $\frac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$ | $s > 0$ |
| $u(t - a)$ (Sprung bei $a \ge 0$) | $\frac{e^{-as}}{s}$ | $s > 0$ |
$u$ ist die Sprungfunktion (Heaviside-Funktion): $u(t) = 0$ für $t < 0$ und $u(t) = 1$ für $t \ge 0$. Mit ihr beschreibt man Vorgänge, die erst zu einem Zeitpunkt $a$ „eingeschaltet“ werden.
Rechenregeln
| Regel | im Zeitbereich | im Bildbereich |
|---|---|---|
| Linearität | $a\,f(t) + b\,g(t)$ | $a\,F(s) + b\,G(s)$ |
| Dämpfungssatz | $e^{at} f(t)$ | $F(s - a)$ |
| Verschiebungssatz ($a > 0$) | $u(t - a)\,f(t - a)$ | $e^{-as}\,F(s)$ |
| Ableitungssatz | $f'(t)$ | $s\,F(s) - f(0)$ |
| $f''(t)$ | $s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0)$ | |
| Multiplikation mit t | $t\,f(t)$ | $-F'(s)$ |
| Integration | $\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ |
| Faltung | $\int_0^t f(\tau)\,g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau$ | $F(s)\cdot G(s)$ |
Beispiel: sin(ωt) ohne Integral
Für $f(t) = \sin(\omega t)$ gilt $f'' = -\omega^2 f$, $f(0) = 0$ und $f'(0) = \omega$. Mit dem Ableitungssatz wird daraus $s^2 F(s) - 0 - \omega = -\omega^2 F(s)$, also $(s^2 + \omega^2)\,F(s) = \omega$ und
$$\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}.$$
Beispiel: Dämpfung und Verschiebung
$\mathcal{L}\{t^2 e^{-3t}\}$: Zu $t^2$ gehört $\frac{2}{s^3}$. Der Dämpfungssatz ersetzt $s$ durch $s + 3$: $\mathcal{L}\{t^2 e^{-3t}\} = \frac{2}{(s + 3)^3}$.
Die Rampe $u(t - 2)\,(t - 2)$ ist die Gerade $f(t) = t$, um 2 nach rechts verschoben. Nach dem Verschiebungssatz gilt $\mathcal{L}\{u(t - 2)(t - 2)\} = e^{-2s}\cdot\frac{1}{s^2}$.
Rücktransformation mit Partialbrüchen
Für die Rückrichtung $f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ bringt man $F(s)$ in eine Summe von Brüchen, die in der Tabelle stehen. Bei gebrochenrationalen $F(s)$ (Zählergrad kleiner als Nennergrad) hilft die Partialbruchzerlegung:
- Nenner zerlegen: Linearfaktoren $(s - a)$ und quadratische Faktoren ohne reelle Nullstellen.
- Ansatz: $\frac{A}{s - a}$ je einfachem Pol, $\frac{A_1}{s - a} + \frac{A_2}{(s - a)^2}$ bei doppeltem Pol, $\frac{Bs + C}{s^2 + ps + q}$ je quadratischem Faktor.
- Koeffizienten bestimmen: Pole einsetzen („Zuhalte-Methode“) oder Koeffizientenvergleich.
- Zurück mit der Tabelle: quadratische Nenner vorher quadratisch ergänzen, z. B. $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$, dann Dämpfungssatz.
Beispiel 1: zwei reelle Pole
$F(s) = \frac{3s + 7}{(s + 1)(s + 3)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 3}$. Zuhalte-Methode: Für $A$ den Faktor $(s + 1)$ zuhalten und $s = -1$ einsetzen: $A = \frac{-3 + 7}{-1 + 3} = 2$. Ebenso $B = \frac{-9 + 7}{-3 + 1} = 1$.
$$f(t) = 2e^{-t} + e^{-3t}.$$
Beispiel 2: komplexe Pole
$F(s) = \frac{2s + 5}{s^2 + 2s + 5}$. Der Nenner hat keine reellen Nullstellen; quadratisch ergänzt ist er $(s + 1)^2 + 4$. Den Zähler passend umschreiben: $2s + 5 = 2(s + 1) + 3$. Damit
$$F(s) = 2\cdot\frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 2^2} + \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{(s + 1)^2 + 2^2} \quad\Rightarrow\quad f(t) = e^{-t}\left(2\cos(2t) + \tfrac32\sin(2t)\right).$$
Differentialgleichungen mit Anfangswerten lösen
Bei einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformiert man beide Seiten. Der Ableitungssatz baut die Anfangswerte gleich mit ein – anders als beim klassischen Weg über die allgemeine Lösung muss man keine Konstanten mehr anpassen.
Beispiel 3: y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 8
Transformieren: $\bigl(s^2 Y - s - 8\bigr) - \bigl(s Y - 1\bigr) - 6Y = 0$.
Auflösen: $Y\,(s^2 - s - 6) = s + 7$, also $Y(s) = \frac{s + 7}{(s - 3)(s + 2)}$.
Partialbrüche: $Y(s) = \frac{2}{s - 3} - \frac{1}{s + 2}$ (Zuhalte-Methode: $\frac{3 + 7}{3 + 2} = 2$ und $\frac{-2 + 7}{-2 - 3} = -1$).
Zurück: $y(t) = 2e^{3t} - e^{-2t}$. Probe: $y(0) = 2 - 1 = 1$ und $y'(0) = 6 + 2 = 8$. ✓
Beispiel 4: mit rechter Seite – y′ + 2y = 4, y(0) = 1
$sY - 1 + 2Y = \frac{4}{s}$, also $Y(s) = \frac{s + 4}{s\,(s + 2)} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s + 2}$ und $y(t) = 2 - e^{-2t}$. Für große $t$ nähert sich $y$ dem Gleichgewicht $y = 2$.
Resonanz
Hat die rechte Seite dieselbe Frequenz wie die freie Schwingung, entsteht ein doppelter Pol. Bei $y'' + 4y = \sin(2t)$ mit $y(0) = y'(0) = 0$ ist $Y(s) = \frac{2}{(s^2 + 4)^2}$, und zurücktransformiert $y(t) = \frac{\sin(2t)}{8} - \frac{t\cos(2t)}{4}$ – der Faktor $t$ lässt die Ausschläge immer weiter wachsen.
Typische Fehler
- Anfangswerte vergessen: $\mathcal{L}\{y'\}$ ist $sY - y(0)$, nicht nur $sY$.
- Vorzeichen beim Dämpfungssatz: $e^{-3t}$ führt zu $s + 3$, nicht zu $s - 3$.
- Verschiebung ohne Sprungfunktion: $e^{-2s}F(s)$ gehört zu $u(t - 2)\,f(t - 2)$ – das ist bis $t = 2$ null.
- Zählergrad zu groß: Ist der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad, erst Polynomdivision. Ein Polynom in $s$ gehört zu keiner gewöhnlichen Funktion.
Online üben: Laplace-Transformation
Stufe 1: Transformieren
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Aufgabe 1
\(L\left\{e^{-2t}\sin(3t)\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{3}{(s + 2)^{2} + 9}\)
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Aufgabe 2
\(L\left\{4\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{4}{s}\)
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Aufgabe 3
\(L\left\{t\,e^{t}\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{1}{(s - 1)^{2}}\)
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Aufgabe 4
\(L\left\{4\sin(3t)\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{12}{s^{2} + 9}\)
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Aufgabe 5
\(L\left\{2\sin(t)\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{2}{s^{2} + 1}\)
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Aufgabe 6
\(L\left\{3\sin(4t)\right\}\)\(F(s) =\)\(F(s) = \frac{12}{s^{2} + 16}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Laplace-Transformation
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Aufgaben nachrechnen? Der Laplace-Rechner transformiert hin und zurück und löst Anfangswertprobleme mit Rechenweg. Die klassische Lösungsmethode zeigt der DGL-Rechner; Systeme von Differentialgleichungen behandelt die Seite DGL-Systeme.
Weiterlesen: Laplace-Transformation, Heaviside-Funktion bei Wikipedia