Kl. 13

Mann-Whitney-U-Test

Der t-Test vergleicht Mittelwerte und setzt dafür ungefähr normalverteilte Daten voraus. Was aber, wenn die Werte schief verteilt sind, ein paar Ausreißer haben oder nur eine Rangfolge bilden – wie Noten oder Antworten von „gar nicht“ bis „sehr“? Dann vergleicht der Mann-Whitney-U-Test zwei unabhängige Gruppen nur über die Ränge ihrer Werte. Er heißt auch Wilcoxon-Rangsummentest.

Die Idee: Ränge statt Messwerte

Alle Werte beider Gruppen werden gemeinsam der Größe nach geordnet und bekommen Ränge: Der kleinste Wert erhält Rang 1, der größte Rang $N = n_1 + n_2$. Liegen die Gruppen gleich, mischen sich die Ränge gut. Liegt eine Gruppe deutlich höher, sammeln sich bei ihr die großen Ränge.

Wartet man in Praxis A länger?

Wartezeiten in Minuten – Praxis A: 12; 15; 18; 21; 25; 30. Praxis B: 8; 10; 11; 14; 16. Gemeinsam geordnet (blau: A, orange: B):

8 Rang 1
10 Rang 2
11 Rang 3
12 Rang 4
14 Rang 5
15 Rang 6
16 Rang 7
18 Rang 8
21 Rang 9
25 Rang 10
30 Rang 11

Die Rangsummen sind $R_A = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 = 48$ und $R_B = 18$. Probe: $R_A + R_B = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

Vom Rang zum U-Wert

Merke: U-Werte

\[U_1 = R_1 - \frac{n_1 (n_1 + 1)}{2} \qquad U_2 = R_2 - \frac{n_2 (n_2 + 1)}{2} \qquad U_1 + U_2 = n_1 \cdot n_2\]

$\frac{n_1 (n_1 + 1)}{2}$ ist die kleinste mögliche Rangsumme von Gruppe 1 – die hätte sie, wenn ihre Werte alle ganz unten lägen.
$U_1$ zählt, wie viele Paare (ein Wert aus Gruppe 1, einer aus Gruppe 2) es gibt, bei denen der Wert aus Gruppe 1 größer ist. Gleichstände zählen halb.
Getestet wird mit $U = \min(U_1, U_2)$. Unter $H_0$ liegt $U$ in der Nähe von $\frac{n_1 n_2}{2}$; ein sehr kleines $U$ spricht gegen $H_0$.

Im Beispiel ist $U_A = 48 - \frac{6 \cdot 7}{2} = 27$ und $U_B = 6 \cdot 5 - 27 = 3$. Nachzählen bestätigt das: Von den 30 Paaren gibt es nur 3, in denen ein Patient in Praxis B länger gewartet hat (16 > 12, 16 > 15, 14 > 12).

Exakte Verteilung und kritischer Wert

Gilt $H_0$, ist jede Verteilung der $N$ Ränge auf die beiden Gruppen gleich wahrscheinlich. Bei $n_1 = 6$ und $n_2 = 5$ gibt es $\binom{11}{6} = 462$ Möglichkeiten. Zählt man für jede den Wert von $U_1$ aus, erhält man die exakte Verteilung:

Ablehnungsbereich zweiseitig bei α = 5 % ($U \leq 3$) übrige Werte

Die Verteilung ist symmetrisch um $\frac{n_1 n_2}{2} = 15$. Am Rand sind die Säulen winzig: $U_1 = 0$ (alle A-Werte unter allen B-Werten) kommt nur bei einer der 462 Anordnungen vor. Im Beispiel ist $U = 3 \leq 3$: $H_0$ wird abgelehnt, in Praxis A wartet man signifikant länger. Der exakte p-Wert ist $2 \cdot P(U_1 \leq 3) \approx 0{,}0303$.

Kritische Werte (zweiseitig, α = 5 %)

Abgelehnt wird, wenn $U = \min(U_1, U_2)$ kleiner oder gleich dem Tabellenwert ist. Ein Strich bedeutet: Bei so kleinen Gruppen ist kein Ergebnis signifikant. Die Werte sind mit der exakten Verteilung berechnet: Der Tabellenwert ist das größte $u$ mit $P(U_1 \leq u) \leq 2{,}5\,\%$.

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	–	–	0	1	1	2	2	3	3	4
4	–	0	1	2	3	4	4	5	6	7
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37

Gleiche Werte (Bindungen)

Kommen Werte mehrfach vor, erhalten alle den Durchschnitt der Ränge, die sie zusammen belegen. Stehen etwa zwei Fünfen auf den Plätzen 3 und 4, bekommen beide Rang $3{,}5$. Die Rangsummen bleiben so richtig, aber die exakte Tabelle passt nicht mehr genau. Man rechnet dann mit der Normalnäherung und einer etwas kleineren Streuung.

Normalnäherung für größere Gruppen

Merke: Normalnäherung

\[\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2} \qquad \sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2}{12}\left((N + 1) - \frac{\sum (t^3 - t)}{N (N - 1)}\right)} \qquad z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}\]

$t$ ist jeweils die Größe einer Gruppe gleicher Werte; ohne Bindungen fällt die Summe weg. Ab etwa $n_1, n_2 \geq 10$ ist $z$ gut genug normalverteilt. Zweiseitig wird bei $|z| \geq 1{,}96$ abgelehnt. Genauer wird es mit der Stetigkeitskorrektur: Zähler $|U - \mu_U| - 0{,}5$.

Zwei Lerngruppen mit je 20 Personen

Ohne gleiche Werte ergab sich $U = 128$. Dann ist $\mu_U = \frac{20 \cdot 20}{2} = 200$, $\sigma_U = \sqrt{\frac{20 \cdot 20 \cdot 41}{12}} \approx 36{,}97$ und $z = \frac{128 - 200}{36{,}97} \approx -1{,}95$. Wegen $|z| < 1{,}96$ ist kein Unterschied nachgewiesen (p-Wert $\approx 0{,}051$).

U-Test oder t-Test?

	t-Test	Mann-Whitney-U-Test
vergleicht	Mittelwerte	die Lage der Verteilungen (welche Gruppe tendenziell größere Werte hat)
Voraussetzung	ungefähr normalverteilte Daten	nur unabhängige Gruppen und eine Rangfolge
Ausreißer	können das Ergebnis stark verschieben	zählen nur mit ihrem Rang
Datenart	metrisch (Messwerte)	auch ordinal (Noten, Skalen)

Sind die Daten wirklich normalverteilt, findet der t-Test einen vorhandenen Unterschied etwas häufiger. Der Verlust ist aber klein, und bei schiefen Daten ist der U-Test oft sogar besser. Als Effektgröße eignet sich $r = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2}$; im Beispiel $r = 1 - \frac{2 \cdot 3}{30} = 0{,}8$, ein sehr deutlicher Unterschied. Mehr als zwei Gruppen mit Messwerten vergleicht die Varianzanalyse, über Ränge der Kruskal-Wallis-Test. Werden dieselben Personen zweimal gemessen, ist der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test das passende Gegenstück.

Eigene Daten mit Rangtabelle und exaktem p-Wert rechnet der Mann-Whitney-U-Rechner. Wie man Werte zu einer Rangliste ordnet, erklärt für jüngere Schülerinnen und Schüler die Seite Urliste und Rangliste.

Übungsaufgaben

Stufe 1: U aus der Rangsumme, Stufe 2: Ränge vergeben und mit dem kritischen Wert entscheiden, Stufe 3: Normalnäherung.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 2: U-Test mit kleinen Gruppen

Aufgabe 1
Gruppe 1: $68;$ $51;$ $37;$ $39$; Gruppe 2: $46;$ $19;$ $30;$ $36;$ $50\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $4;$ $5;$ $8;$ $9;$ $R_1 = 26;$ $U_1 = 26 - 10$ $= 16,$ $U_2 = 4;$ $U = 4;$ $U_{\text{krit}} = 1$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 2
Gruppe 1: $52;$ $65;$ $48;$ $69$; Gruppe 2: $43;$ $14;$ $41;$ $33;$ $32;$ $17\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $7;$ $8;$ $9;$ $10;$ $R_1 = 34;$ $U_1 = 34 - 10$ $= 24,$ $U_2 = 0;$ $U = 0;$ $U_{\text{krit}} = 2$ $\Rightarrow\; H_0$ ablehnen
Aufgabe 3
Gruppe 1: $36;$ $13;$ $27;$ $25$; Gruppe 2: $30;$ $49;$ $47;$ $39;$ $10;$ $43\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $2;$ $3;$ $4;$ $6;$ $R_1 = 15;$ $U_1 = 15 - 10$ $= 5,$ $U_2 = 19;$ $U = 5;$ $U_{\text{krit}} = 2$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 4
Gruppe 1: $49;$ $16;$ $47;$ $55$; Gruppe 2: $30;$ $19;$ $22;$ $25;$ $45;$ $28\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $1;$ $8;$ $9;$ $10;$ $R_1 = 28;$ $U_1 = 28 - 10$ $= 18,$ $U_2 = 6;$ $U = 6;$ $U_{\text{krit}} = 2$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 5
Gruppe 1: $30;$ $42;$ $43;$ $17;$ $10;$ $39$; Gruppe 2: $28;$ $44;$ $12;$ $41;$ $11;$ $13\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $1;$ $5;$ $7;$ $8;$ $10;$ $11;$ $R_1 = 42;$ $U_1 = 42 - 21$ $= 21,$ $U_2 = 15;$ $U = 15;$ $U_{\text{krit}} = 5$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen
Aufgabe 6
Gruppe 1: $33;$ $45;$ $32;$ $43;$ $61;$ $42$; Gruppe 2: $41;$ $49;$ $13;$ $18;$ $25;$ $48\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}$

$U =$

Ränge der Gruppe 1: $4;$ $5;$ $7;$ $8;$ $9;$ $12;$ $R_1 = 45;$ $U_1 = 45 - 21$ $= 24,$ $U_2 = 12;$ $U = 12;$ $U_{\text{krit}} = 5$ $\Rightarrow\; H_0$ nicht ablehnen

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Mann-Whitney-U-Test

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.

Weiterlesen: Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, Nichtparametrische Statistik bei Wikipedia

RechnerMann-Whitney-U-Rechner – U-Test mit Rangtabelle und p-WertWerte zweier Gruppen eingeben und Rangtabelle, Rangsummen, U-Werte, exakten p-Wert oder Normalnäherung mit Bindungskorrektur und Effektgröße erhalten.Klasse 13 · Studium & Brückenkurs Erklärungt-Test – Ein-Stichproben-, Zwei-Stichproben- und gepaarter t-TestMittelwerte testen, wenn σ unbekannt ist – t-Verteilung und Freiheitsgrade, Konfidenzintervall, Zwei-Stichproben-t-Test (gepoolt und Welch), gepaarter t-Test, p-Wert und Tabelle der t-Quantile.Klasse 13 · Studium & Brückenkurs ErklärungUrliste, Rangliste und Häufigkeitstabelle – Daten ordnen und auswertenDaten der Größe nach ordnen, Minimum, Maximum, Spannweite, Zentralwert und häufigsten Wert ablesen, Strichliste und Häufigkeitstabelle anlegen – mit Werkzeug zum Ausprobieren.Klasse 5–7 · Stochastik & Statistik ÜbungenBrückenkurs Mathe – fit fürs Studium mit Mathe-Check und LernpfadMathe-Check mit 22 Aufgaben und ein Lernpfad in zehn Stationen von Bruchrechnung bis Integral – mit Häkchen für Deinen Fortschritt.Klasse 13 · Studium & Brückenkurs ErklärungSummenzeichen und Produktzeichen – Regeln, Indexverschiebung, SummenformelnΣ und Π lesen und umformen – Rechenregeln, Indexverschiebung, Gaußsche Summenformel, geometrische Summe und Teleskopsumme.Klasse 13 · Studium & Brückenkurs ErklärungMengen und Aussagenlogik – Schreibweisen, Intervalle, Junktoren, QuantorenMengen und Zahlenbereiche, Intervalle, Schnitt, Vereinigung und Komplement, Wahrheitstafeln, Implikation und Quantoren richtig verneinen.Klasse 13 · Studium & Brückenkurs

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	–	–	0	1	1	2	2	3	3	4
4	–	0	1	2	3	4	4	5	6	7
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	–	–	0	1	1	2	2	3	3	4
4	–	0	1	2	3	4	4	5	6	7
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37