Mann-Whitney-U-Test
Der t-Test vergleicht Mittelwerte und setzt dafür ungefähr normalverteilte Daten voraus. Was aber, wenn die Werte schief verteilt sind, ein paar Ausreißer haben oder nur eine Rangfolge bilden – wie Noten oder Antworten von „gar nicht“ bis „sehr“? Dann vergleicht der Mann-Whitney-U-Test zwei unabhängige Gruppen nur über die Ränge ihrer Werte. Er heißt auch Wilcoxon-Rangsummentest.
Die Idee: Ränge statt Messwerte
Alle Werte beider Gruppen werden gemeinsam der Größe nach geordnet und bekommen Ränge: Der kleinste Wert erhält Rang 1, der größte Rang $N = n_1 + n_2$. Liegen die Gruppen gleich, mischen sich die Ränge gut. Liegt eine Gruppe deutlich höher, sammeln sich bei ihr die großen Ränge.
Wartet man in Praxis A länger?
Wartezeiten in Minuten – Praxis A: 12; 15; 18; 21; 25; 30. Praxis B: 8; 10; 11; 14; 16. Gemeinsam geordnet (blau: A, orange: B):
- 8 Rang 1
- 10 Rang 2
- 11 Rang 3
- 12 Rang 4
- 14 Rang 5
- 15 Rang 6
- 16 Rang 7
- 18 Rang 8
- 21 Rang 9
- 25 Rang 10
- 30 Rang 11
Die Rangsummen sind $R_A = 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 = 48$ und $R_B = 18$. Probe: $R_A + R_B = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.
Vom Rang zum U-Wert
Merke: U-Werte
- $\frac{n_1 (n_1 + 1)}{2}$ ist die kleinste mögliche Rangsumme von Gruppe 1 – die hätte sie, wenn ihre Werte alle ganz unten lägen.
- $U_1$ zählt, wie viele Paare (ein Wert aus Gruppe 1, einer aus Gruppe 2) es gibt, bei denen der Wert aus Gruppe 1 größer ist. Gleichstände zählen halb.
- Getestet wird mit $U = \min(U_1, U_2)$. Unter $H_0$ liegt $U$ in der Nähe von $\frac{n_1 n_2}{2}$; ein sehr kleines $U$ spricht gegen $H_0$.
Im Beispiel ist $U_A = 48 - \frac{6 \cdot 7}{2} = 27$ und $U_B = 6 \cdot 5 - 27 = 3$. Nachzählen bestätigt das: Von den 30 Paaren gibt es nur 3, in denen ein Patient in Praxis B länger gewartet hat (16 > 12, 16 > 15, 14 > 12).
Exakte Verteilung und kritischer Wert
Gilt $H_0$, ist jede Verteilung der $N$ Ränge auf die beiden Gruppen gleich wahrscheinlich. Bei $n_1 = 6$ und $n_2 = 5$ gibt es $\binom{11}{6} = 462$ Möglichkeiten. Zählt man für jede den Wert von $U_1$ aus, erhält man die exakte Verteilung:
Ablehnungsbereich zweiseitig bei α = 5 % ($U \leq 3$) übrige Werte
Die Verteilung ist symmetrisch um $\frac{n_1 n_2}{2} = 15$. Am Rand sind die Säulen winzig: $U_1 = 0$ (alle A-Werte unter allen B-Werten) kommt nur bei einer der 462 Anordnungen vor. Im Beispiel ist $U = 3 \leq 3$: $H_0$ wird abgelehnt, in Praxis A wartet man signifikant länger. Der exakte p-Wert ist $2 \cdot P(U_1 \leq 3) \approx 0{,}0303$.
Kritische Werte (zweiseitig, α = 5 %)
Abgelehnt wird, wenn $U = \min(U_1, U_2)$ kleiner oder gleich dem Tabellenwert ist. Ein Strich bedeutet: Bei so kleinen Gruppen ist kein Ergebnis signifikant. Die Werte sind mit der exakten Verteilung berechnet: Der Tabellenwert ist das größte $u$ mit $P(U_1 \leq u) \leq 2{,}5\,\%$.
| n₁ \ n₂ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | – | – | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
| 4 | – | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 11 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 8 | 10 | 11 | 13 | 14 |
| 7 | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 8 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 15 | 17 | 19 | 22 |
| 9 | 2 | 4 | 7 | 10 | 12 | 15 | 17 | 20 | 23 | 26 |
| 10 | 3 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 | 26 | 29 |
| 11 | 3 | 6 | 9 | 13 | 16 | 19 | 23 | 26 | 30 | 33 |
| 12 | 4 | 7 | 11 | 14 | 18 | 22 | 26 | 29 | 33 | 37 |
Gleiche Werte (Bindungen)
Kommen Werte mehrfach vor, erhalten alle den Durchschnitt der Ränge, die sie zusammen belegen. Stehen etwa zwei Fünfen auf den Plätzen 3 und 4, bekommen beide Rang $3{,}5$. Die Rangsummen bleiben so richtig, aber die exakte Tabelle passt nicht mehr genau. Man rechnet dann mit der Normalnäherung und einer etwas kleineren Streuung.
Normalnäherung für größere Gruppen
Merke: Normalnäherung
$t$ ist jeweils die Größe einer Gruppe gleicher Werte; ohne Bindungen fällt die Summe weg. Ab etwa $n_1, n_2 \geq 10$ ist $z$ gut genug normalverteilt. Zweiseitig wird bei $|z| \geq 1{,}96$ abgelehnt. Genauer wird es mit der Stetigkeitskorrektur: Zähler $|U - \mu_U| - 0{,}5$.
Zwei Lerngruppen mit je 20 Personen
Ohne gleiche Werte ergab sich $U = 128$. Dann ist $\mu_U = \frac{20 \cdot 20}{2} = 200$, $\sigma_U = \sqrt{\frac{20 \cdot 20 \cdot 41}{12}} \approx 36{,}97$ und $z = \frac{128 - 200}{36{,}97} \approx -1{,}95$. Wegen $|z| < 1{,}96$ ist kein Unterschied nachgewiesen (p-Wert $\approx 0{,}051$).
U-Test oder t-Test?
| t-Test | Mann-Whitney-U-Test | |
|---|---|---|
| vergleicht | Mittelwerte | die Lage der Verteilungen (welche Gruppe tendenziell größere Werte hat) |
| Voraussetzung | ungefähr normalverteilte Daten | nur unabhängige Gruppen und eine Rangfolge |
| Ausreißer | können das Ergebnis stark verschieben | zählen nur mit ihrem Rang |
| Datenart | metrisch (Messwerte) | auch ordinal (Noten, Skalen) |
Sind die Daten wirklich normalverteilt, findet der t-Test einen vorhandenen Unterschied etwas häufiger. Der Verlust ist aber klein, und bei schiefen Daten ist der U-Test oft sogar besser. Als Effektgröße eignet sich $r = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2}$; im Beispiel $r = 1 - \frac{2 \cdot 3}{30} = 0{,}8$, ein sehr deutlicher Unterschied. Mehr als zwei Gruppen mit Messwerten vergleicht die Varianzanalyse, über Ränge der Kruskal-Wallis-Test. Werden dieselben Personen zweimal gemessen, ist der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test das passende Gegenstück.
Eigene Daten mit Rangtabelle und exaktem p-Wert rechnet der Mann-Whitney-U-Rechner. Wie man Werte zu einer Rangliste ordnet, erklärt für jüngere Schülerinnen und Schüler die Seite Urliste und Rangliste.
Übungsaufgaben
Stufe 1: U aus der Rangsumme, Stufe 2: Ränge vergeben und mit dem kritischen Wert entscheiden, Stufe 3: Normalnäherung.
Stufe 3: Normalnäherung
-
Aufgabe 1
\(n_1 = 12,\) \(n_2 = 20,\) \(U = 94\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{12 \cdot 20}{2}\) \(= 120,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{12 \cdot 20 \cdot 33}{12}}\) \(\approx 25{,}69;\) \(z = \tfrac{94 - 120}{25{,}69}\) \(\approx -1{,}01\) \(\Rightarrow\; H_0\) nicht ablehnen
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Aufgabe 2
\(n_1 = 25,\) \(n_2 = 19,\) \(U = 109\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{25 \cdot 19}{2}\) \(= 237{,}5,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{25 \cdot 19 \cdot 45}{12}}\) \(\approx 42{,}205;\) \(z = \tfrac{109 - 237{,}5}{42{,}205}\) \(\approx -3{,}04\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen
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Aufgabe 3
\(n_1 = 12,\) \(n_2 = 14,\) \(U = 29\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{12 \cdot 14}{2}\) \(= 84,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{12 \cdot 14 \cdot 27}{12}}\) \(\approx 19{,}442;\) \(z = \tfrac{29 - 84}{19{,}442}\) \(\approx -2{,}83\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen
-
Aufgabe 4
\(n_1 = 22,\) \(n_2 = 25,\) \(U = 129\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{22 \cdot 25}{2}\) \(= 275,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{22 \cdot 25 \cdot 48}{12}}\) \(\approx 46{,}904;\) \(z = \tfrac{129 - 275}{46{,}904}\) \(\approx -3{,}11\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen
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Aufgabe 5
\(n_1 = 12,\) \(n_2 = 11,\) \(U = 59\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{12 \cdot 11}{2}\) \(= 66,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{12 \cdot 11 \cdot 24}{12}}\) \(\approx 16{,}248;\) \(z = \tfrac{59 - 66}{16{,}248}\) \(\approx -0{,}43\) \(\Rightarrow\; H_0\) nicht ablehnen
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Aufgabe 6
\(n_1 = 12,\) \(n_2 = 21,\) \(U = 123\) (keine Bindungen). Normalnäherung: \(z\text{?}\)\(z \approx\)\(\mu_U = \tfrac{12 \cdot 21}{2}\) \(= 126,\) \(\sigma_U = \sqrt{\tfrac{12 \cdot 21 \cdot 34}{12}}\) \(\approx 26{,}721;\) \(z = \tfrac{123 - 126}{26{,}721}\) \(\approx -0{,}11\) \(\Rightarrow\; H_0\) nicht ablehnen
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Mann-Whitney-U-Test
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Weiterlesen: Wilcoxon-Mann-Whitney-Test, Nichtparametrische Statistik bei Wikipedia