Rechner für Funktionen mehrerer Variablen
Gib eine Funktion mit den Variablen $x$ und $y$ (oder $x$, $y$ und $z$) ein. Der Rechner bildet die partiellen Ableitungen, sucht kritische Punkte und entscheidet mit der Hesse-Matrix, ob dort ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt liegt. Mit einer Nebenbedingung löst er das Problem mit dem Lagrange-Verfahren. Außerdem berechnet er Jacobi-Matrizen, die Kettenregel entlang einer Kurve, das Taylorpolynom 2. Ordnung und löst nichtlineare Gleichungssysteme mit dem Newton-Verfahren.
Ergebnis
Kritische Punkte von $f(x, y) = x\,\mathrm{e}^{-x^{2} - y^{2}}$:
Rechenweg
Partielle Ableitungen 1. Ordnung
Leite nach einer Variablen ab und behandle die anderen dabei wie Zahlen (Konstanten).
\[f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = -\mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(2\,x^{2} - 1\right)\]\[f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = -2\,\mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,x\,y\]Ableitungen 2. Ordnung und Hesse-Matrix
Gemischte Ableitungen sind gleich (Satz von Schwarz): f_xy = f_yx. Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten Ableitungen:
\[f_{xx} = \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x^{3} - 6\,x\right)\]\[f_{xy} = \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x^{2} - 2\right)\,y\]\[f_{yy} = \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x\,y^{2} - 2\,x\right)\]\[H_f(x, y) = \begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x^{3} - 6\,x\right) & \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x^{2} - 2\right)\,y \\ \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x^{2} - 2\right)\,y & \mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(4\,x\,y^{2} - 2\,x\right)\end{pmatrix}\]Kritische Punkte: Gradient gleich null setzen
Notwendige Bedingung für ein Extremum: alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung sind 0. Das Gleichungssystem:
\[f_{x} = -\mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,\left(2\,x^{2} - 1\right) = 0\]\[f_{y} = -2\,\mathrm{e}^{-y^{2} - x^{2}}\,x\,y = 0\]Lösungen des Gleichungssystems
Es gibt 2 kritische Punkte.
\[(-\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0)\]\[(\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0)\]Hesse-Matrix in den kritischen Punkten
Hinreichende Bedingung mit D = f_xx · f_yy − (f_xy)² (Determinante der Hesse-Matrix): D > 0 und f_xx > 0 → Minimum, D > 0 und f_xx < 0 → Maximum, D < 0 → Sattelpunkt, D = 0 → keine Entscheidung.
Punkt f-Wert Hesse-Matrix Kriterium Art \(T_{1}(-\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0)\) \(-\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{\mathrm{e}}}\) \(\begin{pmatrix}\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}}\end{pmatrix}\) \(D = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}} - 0^2 = 4\,\mathrm{e}^{-1} > 0,\ f_{xx} > 0\) lokales Minimum \(H_{1}(\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0)\) \(\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{\mathrm{e}}}\) \(\begin{pmatrix}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}} & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}}\end{pmatrix}\) \(D = \left(-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right) - 0^2 = 4\,\mathrm{e}^{-1} > 0,\ f_{xx} < 0\) lokales Maximum
Höhenlinienbild
Höhenlinien von f: Linien gleicher Funktionswerte, blau = klein, orange = groß. Um Minima (T) und Maxima (H) liegen geschlossene Ringe, an Sattelpunkten (S) kreuzen sich Höhenlinien.
So rechnet der Rechner
| Modus | Was passiert |
|---|---|
| Ableitungen | Alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung, Gradient und Hesse-Matrix; der Satz von Schwarz $f_{xy} = f_{yx}$ wird überprüft. Mit Punkt $P$: Funktionswert, Gradient und Tangentialebene in $P$, mit Richtung $\vec{v}$ auch die Richtungsableitung $\operatorname{grad} f(P) \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$. |
| Extrema | Das Gleichungssystem $\operatorname{grad} f = \vec{0}$ wird exakt gelöst; klappt das nicht (z. B. bei $\sin$ und $\cos$), sucht der Rechner die Lösungen numerisch. Für jeden kritischen Punkt wird die Hesse-Matrix ausgewertet: Bei zwei Variablen über $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$, bei drei Variablen über die Hauptminoren bzw. Eigenwerte. |
| Lagrange | Aus $L = f - \lambda \cdot g$ entsteht das System $\operatorname{grad} f = \lambda \operatorname{grad} g$, $g = 0$. Bei zwei Variablen entscheidet die geränderte Hesse-Matrix zwischen Maximum und Minimum; zusätzlich werden die Funktionswerte aller Lösungspunkte verglichen. |
| Jacobi-Matrix | Für eine vektorwertige Funktion $F = (F_1, F_2, \ldots)$ stehen in Zeile $i$ die partiellen Ableitungen von $F_i$. Ist die Matrix quadratisch, kommt die Jacobi-Determinante dazu – mit Punkt auch ihr Wert dort. |
| Kettenregel | Für $f(x(t), y(t))$ gilt $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = f_x\,\dot x + f_y\,\dot y$. Zur Probe wird zusätzlich erst eingesetzt und dann abgeleitet. |
| Taylor 2. Ordnung | $T_2$ aus Funktionswert, Gradient und Hesse-Matrix im Entwicklungspunkt; das Ergebnis wird mit einer unabhängigen Taylor-Entwicklung verglichen. |
| Newton in 2D | In jedem Schritt wird $J(\vec x_n)\,\Delta\vec x = -F(\vec x_n)$ gelöst; die Tabelle zeigt die Näherungen und die Restwerte $f_1$, $f_2$. |
Grenzen des Rechners
- Ist $D = 0$ (bzw. hat die Hesse-Matrix einen Eigenwert 0), entscheidet das Kriterium nicht. Der Rechner prüft dann die Funktionswerte in der Nähe – das ist ein Hinweis, kein Beweis.
- Bei periodischen Funktionen gibt es unendlich viele kritische Punkte; angezeigt werden die im Bildausschnitt gefundenen.
- Lagrange liefert nur Kandidaten. Ob ein Kandidat wirklich das größte oder kleinste Ergebnis liefert, hängt davon ab, ob die Nebenbedingung eine beschränkte Kurve (z. B. Kreis) beschreibt.
- Das Newton-Verfahren findet höchstens eine Lösung – welche, hängt vom Startpunkt ab. Andere Startpunkte können zu anderen Lösungen führen oder gar nicht konvergieren.
Die Erklärungen mit Beispielen und Übungen findest Du unter Partielle Ableitungen und Gradient, Extremwerte bei mehreren Variablen sowie Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylor. Für Funktionen mit nur einer Variablen gibt es den Ableitungsrechner und die Kurvendiskussion.
Weiterlesen: Sattelpunkt bei Wikipedia