Partielle Ableitungen und Gradient
Viele Größen hängen von mehr als einer Zahl ab: Die Temperatur in einem Raum vom Ort, die Kosten einer Produktion von Material und Arbeitszeit, die Höhe eines Geländes von zwei Koordinaten. Für solche Funktionen mehrerer Variablen fragt man, wie stark sich der Wert ändert, wenn man nur eine der Größen ein wenig verändert – das ist die partielle Ableitung.
Funktionen mit zwei Variablen
Eine Funktion $f(x, y)$ ordnet jedem Punkt $(x \mid y)$ der Ebene eine Zahl zu. Stellst Du Dir diese Zahl als Höhe vor, wird der Graph zu einer Landschaft über der $xy$-Ebene. Wie bei einer Wanderkarte zeichnet man oft nur die Höhenlinien: alle Punkte, an denen $f$ denselben Wert hat.
Höhenlinien von $f(x, y) = x^2 - xy + 2y^2$: Die Werte wachsen von innen (blau) nach außen (orange). Weil $f$ nie negativ wird und nur im Ursprung 0 ist, liegt dort der tiefste Punkt der „Mulde“.
Partielle Ableitungen
Um nach $x$ abzuleiten, hältst Du $y$ fest und behandelst es wie eine Zahl. Was übrig bleibt, ist eine ganz normale Funktion von $x$ – und die leitest Du mit den bekannten Ableitungsregeln ab. Genauso für $y$.
Partielle Ableitungen 1. Ordnung
Geometrisch ist $f_x(x_0, y_0)$ die Steigung der Landschaft, wenn Du vom Punkt $(x_0 \mid y_0)$ genau in $x$-Richtung gehst.
Beispiel 1: f(x, y) = x³y² − 4xy + 2y
Nach $x$: $y^2$, $4y$ und $2y$ sind „Zahlen“. Der Summand $2y$ enthält kein $x$ und fällt weg:
Nach $y$: Jetzt sind $x^3$ und $4x$ die „Zahlen“:
Beispiel 2: f(x, y) = x · e^(xy)
Nach $x$ brauchst Du die Produktregel, denn beide Faktoren hängen von $x$ ab; die Kettenregel liefert den Faktor $y$:
Nach $y$ ist $x$ ein konstanter Faktor; die Kettenregel liefert den Faktor $x$:
Ableitungen 2. Ordnung und Satz von Schwarz
Leitest Du $f_x$ und $f_y$ noch einmal ab, erhältst Du vier zweite Ableitungen: $f_{xx}$, $f_{yy}$ und die gemischten Ableitungen $f_{xy}$ (erst nach $x$, dann nach $y$) und $f_{yx}$. Für alle Funktionen, die Dir in Schule und Grundstudium begegnen, gilt:
Satz von Schwarz
Sind die zweiten partiellen Ableitungen stetig, spielt die Reihenfolge keine Rolle: $f_{xy} = f_{yx}$.
Beispiel 1 weitergerechnet
Aus $f_x = 3x^2y^2 - 4y$ und $f_y = 2x^3y - 4x + 2$:
Die vier Werte bilden die Hesse-Matrix $H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$. Sie entscheidet später über Minimum, Maximum oder Sattelpunkt – siehe Extremwerte bei mehreren Variablen.
Der Gradient
Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung fasst man zu einem Vektor zusammen, dem Gradienten:
Er hat eine anschauliche Bedeutung, die Du Dir merken solltest:
- Der Gradient zeigt in die Richtung, in der $f$ am stärksten wächst – auf der Wanderkarte also steil bergauf.
- Sein Betrag $|\operatorname{grad} f|$ ist die größte Steigung in diesem Punkt.
- Er steht senkrecht auf der Höhenlinie durch den Punkt. Entlang der Höhenlinie ändert sich $f$ nicht.
- Ist $\operatorname{grad} f = \vec{0}$, liegt ein kritischer Punkt vor – ein Kandidat für ein Extremum.
Klicke in das Bild: Der orange Pfeil zeigt den Gradienten, die gestrichelte Linie die Richtung der Höhenlinie.
Beispiel: Gradient von f(x, y) = x² − xy + 2y² im Punkt P(1 | 1)
$f_x = 2x - y$ und $f_y = -x + 4y$. Eingesetzt: $\operatorname{grad} f(1, 1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit dem Betrag $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$. Von $P$ aus steigt $f$ am stärksten in Richtung $(1 \mid 3)$ – mit der Steigung $3{,}16$.
Richtungsableitung
Wie steil ist es, wenn Du nicht in Richtung des Gradienten, sondern in eine beliebige Richtung $\vec{v}$ gehst? Das beantwortet die Richtungsableitung. Wichtig: $\vec{v}$ muss vorher auf die Länge 1 gebracht werden.
Richtungsableitung in Richtung v
Sie ist am größten, wenn $\vec{v}$ in Richtung des Gradienten zeigt, und gleich 0 entlang der Höhenlinie.
Beispiel: f(x, y) = x² − xy + 2y², P(1 | 1), v = (4 | −3)
$|\vec{v}| = \sqrt{16 + 9} = 5$, also $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(P) = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot (-3)}{5} = -1$. In dieser Richtung geht es also leicht bergab.
Tangentialebene
So wie die Tangente eine Kurve in einem Punkt annähert, nähert die Tangentialebene den Graphen von $f$ in der Nähe von $(x_0 \mid y_0)$ an:
Beispiel: f(x, y) = x² − xy + 2y² im Punkt (1 | 1)
$f(1, 1) = 2$, $f_x(1, 1) = 1$, $f_y(1, 1) = 3$: $\ z = 2 + (x - 1) + 3\,(y - 1) = x + 3y - 2$.
Für Punkte nahe bei $(1 \mid 1)$ ist das eine gute Näherung: $f(1{,}1;\ 0{,}9) = 1{,}83$, die Ebene liefert $1{,}1 + 2{,}7 - 2 = 1{,}8$.
Drei und mehr Variablen
Alles überträgt sich direkt: Bei $f(x, y, z)$ gibt es drei partielle Ableitungen, der Gradient hat drei Einträge und die Hesse-Matrix ist eine 3×3-Matrix. Statt Höhenlinien gibt es dann Niveauflächen $f(x, y, z) = c$ im Raum – der Gradient steht senkrecht auf ihnen. Daraus folgt zum Beispiel, dass der Vektor $(x_0 \mid y_0 \mid z_0)$ senkrecht auf der Kugel $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ steht (Gradient $= (2x \mid 2y \mid 2z)$), vergleiche Kugel in der analytischen Geometrie.
Typische Fehler
- Beim Ableiten nach $x$ einen Summand wie $5y^3$ stehen lassen – er hängt nicht von $x$ ab und fällt weg.
- Einen Faktor wie $y^2$ in $3x^2y^2$ „mit ableiten“: Nach $x$ ist $y^2$ nur eine Zahl, $\frac{\partial}{\partial x}\,(3x^2y^2) = 6x\,y^2$.
- Bei der Richtungsableitung vergessen, den Richtungsvektor durch seine Länge zu teilen.
- In die Tangentialebene $f_x$ und $f_y$ als Terme statt als Zahlen (Werte im Punkt) einsetzen.
Online üben: partielle Ableitungen
Stufe 1: Polynome
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Aufgabe 1
\(f(x, y)\) \(= 3x^{3}y - xy^{3} - 3x^{2} - 2xy:\) \(f_{y}\)\(f_y =\)\(f_{y} = 3x^{3} - 3xy^{2} - 2x\)
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Aufgabe 2
\(f(x, y)\) \(= -2xy^{2} - 5y^{3} + 6y^{2} - 5x:\) \(f_{x}\)\(f_x =\)\(f_{x} = -2y^{2} - 5\)
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Aufgabe 3
\(f(x, y)\) \(= -x^{3}y + 3x^{2}y^{2} + xy^{3} + x^{3}:\) \(f_{y}\)\(f_y =\)\(f_{y} = -x^{3} + 6x^{2}y + 3xy^{2}\)
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Aufgabe 4
\(f(x, y)\) \(= -x^{2}y + 2xy^{2} - 2xy - 3y:\) \(f_{y}\)\(f_y =\)\(f_{y} = -x^{2} + 4xy - 2x - 3\)
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Aufgabe 5
\(f(x, y)\) \(= 6x^{2}y^{2} - 6x^{3} + 4y^{3} - 3x^{2}:\) \(f_{x}\)\(f_x =\)\(f_{x} = 12xy^{2} - 18x^{2} - 6x\)
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Aufgabe 6
\(f(x, y)\) \(= x^{2}y^{2} + 5xy^{2} - 4y^{3} - 4y^{2}:\) \(f_{y}\)\(f_y =\)\(f_{y} = 2x^{2}y + 10xy - 12y^{2} - 8y\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Partielle Ableitungen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Online üben: Gradient, Richtungsableitung, Tangentialebene
Stufe 1: Gradient im Punkt
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Aufgabe 1
\(f(x, y)\) \(= -3xy^{2} - xy - 5y,\) \(P(2 \mid 1):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (-4 \mid -19)\)
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Aufgabe 2
\(f(x, y)\) \(= -5x^{2}y - 2xy^{2} + 2x,\) \(P(-1 \mid -2):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (-26 \mid -13)\)
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Aufgabe 3
\(f(x, y)\) \(= x^{2}y + 6xy - 3y,\) \(P(-2 \mid 2):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (4 \mid -11)\)
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Aufgabe 4
\(f(x, y)\) \(= -6x^{2}y - 2xy - 3x,\) \(P(0 \mid -1):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (-1 \mid 0)\)
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Aufgabe 5
\(f(x, y)\) \(= -5x^{2}y + 2y^{2} - 6x,\) \(P(-1 \mid 0):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (-6 \mid -5)\)
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Aufgabe 6
\(f(x, y)\) \(= 5x^{2} + 3xy + x,\) \(P(2 \mid 1):\) \(\operatorname{grad} f(P)\)\(grad f(P) =\)\(\operatorname{grad} f(P) = (24 \mid 6)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gradient und Richtungsableitung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Funktionen untersuchen? Der Rechner für Funktionen mehrerer Variablen bildet alle partiellen Ableitungen, den Gradienten, die Hesse-Matrix, die Tangentialebene und die Richtungsableitung – mit Höhenlinienbild. Wie man damit Hoch-, Tief- und Sattelpunkte findet, zeigt die Seite Extremwerte bei mehreren Variablen.
Weiter geht es mit Jacobi-Matrix, Kettenregel und Taylorpolynom 2. Ordnung – der Ableitung von Funktionen mit mehreren Ausgaben – und mit den Doppelintegralen, dem Integrieren über Flächen.
Weiterlesen: Partielle Ableitung, Gradient (Mathematik) bei Wikipedia