Konvergenz von Reihen und Konvergenzradius
Eine unendliche Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist der Grenzwert der Partialsummen $s_N = a_1 + a_2 + \ldots + a_N$. Existiert dieser Grenzwert, heißt die Reihe konvergent, sonst divergent. Den Wert einer Reihe auszurechnen ist oft schwer – ob sie überhaupt konvergiert, lässt sich dagegen meist mit wenigen Konvergenzkriterien entscheiden.
Grundlagen zu Folgen, Summenformeln und der geometrischen Reihe findest Du unter Folgen und Reihen, die Schreibweise mit $\sum$ unter Summenzeichen.
Erster Test: Ist aₙ eine Nullfolge?
Nullfolgen-Kriterium (Trivialkriterium)
Wenn $\sum a_n$ konvergiert, dann gilt $a_n \to 0$. Umgekehrt: Geht $a_n$ nicht gegen 0, ist die Reihe divergent.
Beispiel: $\sum \frac{n}{n + 1}$ divergiert, weil $\frac{n}{n + 1} \to 1$. Vorsicht: Der Test funktioniert nur in eine Richtung. Die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{n}$ hat eine Nullfolge als Glieder und divergiert trotzdem. Fasst man die Glieder geschickt zusammen, sieht man das:
Jeder Block bringt mindestens $\frac{1}{2}$ – die Partialsummen wachsen also über jede Grenze, wenn auch sehr langsam: Erst nach über 12 000 Gliedern ist die Summe größer als 10.
Vergleichsreihen
Zwei Reihen-Familien solltest Du kennen, weil man viele andere Reihen mit ihnen vergleicht:
| Reihe | konvergent für | divergent für |
|---|---|---|
| geometrische Reihe $\sum q^n$ | $|q| < 1$, Wert $\frac{1}{1 - q}$ (ab $n = 0$) | $|q| \geq 1$ |
| $p$-Reihe $\sum \frac{1}{n^p}$ | $p > 1$ | $p \leq 1$ (z. B. $\sum \frac{1}{n}$, $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$) |
Majoranten- und Minorantenkriterium (für aₙ ≥ 0)
- Majorante: Ist $a_n \leq b_n$ und $\sum b_n$ konvergent, dann konvergiert auch $\sum a_n$.
- Minorante: Ist $a_n \geq b_n \geq 0$ und $\sum b_n$ divergent, dann divergiert auch $\sum a_n$.
- Grenzwertkriterium: Ist $\lim \frac{a_n}{b_n} = c$ mit $0 < c < \infty$, dann verhalten sich $\sum a_n$ und $\sum b_n$ gleich.
Beispiele zum Vergleichen
- $\sum \frac{1}{n^2 + n}$: Wegen $\frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2}$ ist $\sum \frac{1}{n^2}$ eine konvergente Majorante → konvergent.
- $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$: Wegen $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}$ ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante → divergent.
- $\sum \frac{n + 1}{n^3 + 2}$: Für große $n$ verhält sich das Glied wie $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$. Tatsächlich ist $\lim \frac{(n + 1)/(n^3 + 2)}{1/n^2} = 1$ → konvergent.
Faustregel für Brüche aus Polynomen: Höchste Potenz im Nenner minus höchste Potenz im Zähler bilden. Ist diese Differenz größer als 1, konvergiert die Reihe, sonst divergiert sie.
Quotienten- und Wurzelkriterium
Bei Fakultäten und Potenzen wie $2^n$ oder $n^n$ helfen zwei Kriterien, die die Reihe mit einer geometrischen Reihe vergleichen:
Quotientenkriterium und Wurzelkriterium
$q < 1$: absolut konvergent · $q > 1$: divergent · $q = 1$: keine Aussage – dann ein anderes Kriterium versuchen.
Beispiel: Σ n² / 2ⁿ mit dem Quotientenkriterium
Die Reihe ist absolut konvergent. Bei Fakultäten kürzt sich ähnlich viel weg: Für $\sum \frac{3^n}{n!}$ ist $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{n + 1} \to 0$, also konvergent.
Beispiel: Σ (n / (2n + 1))ⁿ mit dem Wurzelkriterium
Die $n$-te Wurzel hebt den Exponenten auf: $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$ → absolut konvergent.
Für jede $p$-Reihe liefern beide Kriterien $q = 1$ – sie entscheiden also weder $\sum \frac{1}{n}$ (divergent) noch $\sum \frac{1}{n^2}$ (konvergent).
Alternierende Reihen: Leibniz-Kriterium
Wechseln die Vorzeichen ab, heben sich die Glieder teilweise auf. Dann genügen schwächere Bedingungen:
Leibniz-Kriterium
Ist $b_n$ eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe $\sum (-1)^n\, b_n$. Für den Fehler gilt: $|s - s_N| \leq b_{N+1}$ – der Fehler ist höchstens so groß wie das erste weggelassene Glied.
Beispiel: alternierende harmonische Reihe
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergiert nach Leibniz, denn $\frac{1}{n}$ fällt monoton gegen 0. Ihr Wert ist $\ln 2 \approx 0{,}693$. Nach 100 Gliedern ist der Fehler höchstens $\frac{1}{101} < 0{,}01$.
Absolut oder bedingt konvergent?
Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn sogar $\sum |a_n|$ konvergiert. Absolute Konvergenz ist die stärkere Eigenschaft: Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Konvergiert eine Reihe, aber nicht absolut, heißt sie bedingt konvergent.
- $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$: absolut konvergent, weil $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert.
- $\sum \frac{(-1)^n}{n}$: bedingt konvergent – konvergent nach Leibniz, aber $\sum \frac{1}{n}$ divergiert.
- $\sum (-1)^n \frac{n}{n + 1}$: divergent, die Glieder bilden keine Nullfolge.
Bei bedingt konvergenten Reihen kommt es auf die Reihenfolge an: Sortiert man die Glieder um, kann ein anderer Wert herauskommen. Bei absolut konvergenten Reihen passiert das nie.
Integralkriterium und Cauchy-Verdichtung
Manche Reihen rutschen durch alle bisherigen Kriterien: Bei $\sum \frac{1}{n \ln n}$ ist der Quotient $q = 1$, und das Glied fällt schneller als $\frac{1}{n}$, aber langsamer als jedes $\frac{1}{n^{s}}$ mit $s > 1$. Für solche Fälle mit positiven, fallenden Gliedern gibt es zwei weitere Werkzeuge.
Integralkriterium
Ist $f$ auf $[N; \infty)$ positiv und monoton fallend und $a_n = f(n)$, dann gilt: $\sum_{n=N}^{\infty} a_n$ konvergiert genau dann, wenn das uneigentliche Integral $\int_N^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ endlich ist.
Anschaulich: Die Summe ist eine Treppenfläche aus Rechtecken der Breite 1, die zwischen den Flächen $\int_N^\infty f$ und $f(N) + \int_N^\infty f$ liegt.
Beispiel: Σ 1/(n ln n) und Σ 1/(n ln² n)
$\int_2^X \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x} = \bigl[\ln(\ln x)\bigr]_2^X \to \infty$ – die Reihe $\sum \frac{1}{n \ln n}$ divergiert, wenn auch extrem langsam (die Partialsumme bis $n = 10^{9}$ ist erst etwa 3,8).
$\int_2^X \frac{\mathrm{d}x}{x \ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^X \to \frac{1}{\ln 2}$ – die Reihe $\sum \frac{1}{n \ln^2 n}$ konvergiert. Mit derselben Rechnung erhält man den Merksatz: $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergiert genau für $p > 1$.
Cauchy-Verdichtung
Für positive, monoton fallende $a_n$ konvergiert $\sum a_n$ genau dann, wenn die „verdichtete“ Reihe $\sum 2^n\,a_{2^n}$ konvergiert. Man nimmt also nur die Glieder an den Stellen $1, 2, 4, 8, \ldots$ und gewichtet sie mit der Länge des Abschnitts.
Für $a_n = \frac{1}{n \ln n}$ ist $2^n a_{2^n} = \frac{2^n}{2^n \cdot n \ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{n}$ – die harmonische Reihe, also divergent. Für $a_n = \frac{1}{n^p}$ wird daraus die geometrische Reihe $\sum (2^{1-p})^n$, die genau für $p > 1$ konvergiert.
Der Reihen-Rechner probiert beide Kriterien automatisch, wenn Quotienten- und Vergleichskriterium nicht entscheiden.
Welches Kriterium wann?
| Wenn das Reihenglied … | dann versuche … |
|---|---|
| nicht gegen 0 geht | Nullfolgen-Kriterium → divergent, fertig |
| ein Bruch aus Polynomen oder Wurzeln ist | Vergleich mit $\sum \frac{1}{n^p}$ (Majorante, Minorante, Grenzwertkriterium) |
| Fakultäten oder Potenzen wie $3^n$ enthält | Quotientenkriterium |
| die Form $(\ldots)^n$ hat | Wurzelkriterium |
| ein Vorzeichen $(-1)^n$ enthält | erst $\sum |a_n|$ prüfen (absolut?), sonst Leibniz (bedingt?) |
| Logarithmen wie $\frac{1}{n \ln n}$ enthält | Integralkriterium oder Cauchy-Verdichtung |
Potenzreihen und Konvergenzradius
Eine Potenzreihe hat die Form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,(x - x_0)^n$ mit dem Entwicklungspunkt $x_0$ – wie eine Taylorreihe, die nie abbricht. Ob sie konvergiert, hängt von $x$ ab. Das Erstaunliche: Die Menge aller $x$, für die sie konvergiert, ist immer ein Intervall um $x_0$.
Konvergenzradius R
- Für $|x - x_0| < R$ konvergiert die Reihe absolut, für $|x - x_0| > R$ divergiert sie.
- $R = \infty$: Konvergenz für alle $x$. $\ R = 0$: Konvergenz nur in $x = x_0$.
- Die beiden Randpunkte $x_0 - R$ und $x_0 + R$ musst Du einzeln untersuchen – dort ist alles möglich.
Achte auf den Bruch: Für $R$ steht $a_n$ oben – genau umgekehrt wie beim Quotientenkriterium. Das liegt daran, dass das Quotientenkriterium für die ganze Reihe $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \cdot |x - x_0| < 1$ verlangt.
Beispiel: Σ (x − 1)ⁿ / (n · 3ⁿ)
Radius: $a_n = \frac{1}{n \cdot 3^n}$, also $\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \frac{(n + 1) \cdot 3^{n+1}}{n \cdot 3^n} = 3 \cdot \frac{n + 1}{n} \to 3$. Damit ist $R = 3$ und die Reihe konvergiert sicher für $-2 < x < 4$.
Rechter Randpunkt $x = 4$: Es entsteht $\sum \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum \frac{1}{n}$ – divergent.
Linker Randpunkt $x = -2$: Es entsteht $\sum \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum \frac{(-1)^n}{n}$ – nach Leibniz konvergent (bedingt).
Konvergenzintervall: $I = [-2;\ 4)$
Konvergenzintervall von $\sum \frac{(x - 1)^n}{n \cdot 3^n}$: Im grünen Bereich konvergiert die Reihe, der linke Randpunkt $x = -2$ gehört dazu (gefüllt), der rechte $x = 4$ nicht (leer).
| Potenzreihe | Radius | Konvergenzbereich |
|---|---|---|
| $\sum \frac{x^n}{n!}$ (ergibt $e^x$) | $R = \infty$ | ganz $\mathbb{R}$ |
| $\sum x^n$ (geometrische Reihe) | $R = 1$ | $(-1;\ 1)$ – beide Randpunkte divergent |
| $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $R = 1$ | $[-1;\ 1]$ – beide Randpunkte konvergent |
| $\sum n!\,x^n$ | $R = 0$ | nur $x = 0$ |
Typische Fehler
- Aus $a_n \to 0$ auf Konvergenz schließen – die harmonische Reihe zeigt, dass das nicht reicht.
- Bei $q = 1$ im Quotientenkriterium „divergent“ schreiben. Richtig: keine Aussage.
- Beim Konvergenzradius $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ statt $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ nehmen – das liefert $\frac{1}{R}$.
- Die Randpunkte vergessen oder mit dem Quotientenkriterium untersuchen wollen (dort ergibt es immer 1).
Online üben: Konvergenz von Reihen
Stufe 1: Grundtypen
-
Aufgabe 1
\(\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\)\(|q| = \frac{1}{2} < 1:\) konvergent
-
Aufgabe 2
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\)\(p = 3 > 1:\) konvergent
-
Aufgabe 3
\(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{8}{7}\right)^{n}\)\(|q| = \frac{8}{7} \ge 1:\) divergent
-
Aufgabe 4
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{n + 4}\)\(\lim a_n = 5 \ne 0:\) divergent
-
Aufgabe 5
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\)\(p = 2 > 1:\) konvergent
-
Aufgabe 6
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{\sqrt{n}}\)\(p = 0{,}5 \le 1:\) divergent
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Konvergenz von Reihen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Online üben: Konvergenzradius und Randpunkte
Stufe 3: Randpunkte
-
Aufgabe 1
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x + 2)^{n}}{3^{n}},\) \(R = 3:\) Randpunkte?\(I = (-5;\ 1):\) kein Randpunkt
-
Aufgabe 2
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,(x - 1)^{n}}{n},\) \(R = 1:\) Randpunkte?\(I = (0;\ 2]:\) nur der rechte Randpunkt
-
Aufgabe 3
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x + 3)^{n}}{n\cdot 3^{n}},\) \(R = 3:\) Randpunkte?\(I = [-6;\ 0):\) nur der linke Randpunkt
-
Aufgabe 4
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{n}}{n^{2}\cdot 2^{n}},\) \(R = 2:\) Randpunkte?\(I = [-1;\ 3]:\) beide Randpunkte
-
Aufgabe 5
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,(x + 2)^{n}}{n},\) \(R = 1:\) Randpunkte?\(I = (-3;\ -1]:\) nur der rechte Randpunkt
-
Aufgabe 6
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x + 1)^{n}}{n\cdot 4^{n}},\) \(R = 4:\) Randpunkte?\(I = [-5;\ 3):\) nur der linke Randpunkt
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Konvergenzradius von Potenzreihen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Online üben: Integralkriterium
Stufe 1: konvergent oder divergent?
-
Aufgabe 1
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2} + 8}\)\(\int_1^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) divergiert \(\Rightarrow\) divergent
-
Aufgabe 2
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{8}{n\,(\ln n)^{2}}\)Substitution \(u = \ln x:\ \int_2^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^{p}}\) \(= \int_{\ln 2}^{\infty} u^{-p}\,\mathrm{d}u\ \text{endlich}\) \(\Rightarrow\) konvergent
-
Aufgabe 3
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}\)\(\int_1^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) ist endlich \(\Rightarrow\) konvergent
-
Aufgabe 4
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{n}\)\(\int_1^{\infty} x^{-1}\,\mathrm{d}x\) divergiert \((p \le 1)\) \(\Rightarrow\) divergent
-
Aufgabe 5
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{n^{\frac{5}{2}}}\)\(\int_1^{\infty} x^{-\frac{5}{2}}\,\mathrm{d}x\) ist endlich \((p > 1)\) \(\Rightarrow\) konvergent
-
Aufgabe 6
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 5}\)\(\int_1^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) ist endlich \(\Rightarrow\) konvergent
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Integralkriterium für Reihen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Reihen prüfen? Der Konvergenz- und Konvergenzradius-Rechner wendet die Kriterien Schritt für Schritt an, zeigt Partialsummen und bestimmt bei Potenzreihen Radius, Randpunkte und Konvergenzintervall. Grenzwerte von Folgen berechnet der Grenzwert-Rechner.
Weiterlesen: Konvergenzkriterium, Konvergenzradius bei Wikipedia