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Standardfehler und t-Verteilung

Ein Mittelwert aus vielen Messungen ist genauer als eine einzelne Messung – aber wie viel genauer? Das sagt der Standardfehler. Und weil man die wahre Streuung meist nicht kennt, sondern aus den Daten schätzen muss, braucht man für Tests und Konfidenzintervalle die t-Verteilung statt der Normalverteilung. Diese Seite erklärt beides und enthält eine Tabelle der t-Quantile.

Der Standardfehler des Mittelwerts

Streuen einzelne Werte mit der Standardabweichung $\sigma$, dann streut der Mittelwert $\overline{X}$ aus $n$ unabhängigen Werten weniger: Zufällige Abweichungen nach oben und unten gleichen sich teilweise aus.

Merke: Standardfehler

\[\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{geschätzt: } SE = \frac{s}{\sqrt{n}}\]

Der Standardfehler schrumpft mit $\sqrt{n}$, nicht mit $n$: Für die halbe Unsicherheit braucht man die vierfache Stichprobe.

einzelne Werte (σ = 3) · Mittelwerte aus je 9 Werten (σ : √9 = 1)

Kaffeeautomat

Ein Automat füllt Becher mit einer Standardabweichung von 8 ml. Der Mittelwert aus 16 Bechern schwankt nur mit $\frac{8}{\sqrt{16}} = 2$ ml, der aus 64 Bechern mit $\frac{8}{8} = 1$ ml. Wer also prüfen will, ob der Automat im Mittel richtig eingestellt ist, sollte viele Becher messen – eine einzelne Messung sagt wenig.

Achtung, Verwechslungsgefahr: Die Standardabweichung $s$ beschreibt, wie stark die einzelnen Werte streuen, und bleibt bei mehr Daten ungefähr gleich. Der Standardfehler beschreibt, wie genau der Mittelwert ist, und wird mit mehr Daten kleiner.

Warum t statt z?

Ist $\sigma$ bekannt, ist $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ standardnormalverteilt (Gauß-Test). In der Praxis kennt man $\sigma$ aber fast nie und setzt die Schätzung $s$ ein. Weil auch $s$ vom Zufall abhängt, schwankt der Quotient

\[T = \frac{\overline{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}\]

stärker als $Z$: Manchmal ist $s$ zufällig zu klein, dann wird $T$ besonders groß. Bei normalverteilten Daten folgt $T$ der t-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden. Beschrieben hat sie William Gosset, der als Chemiker einer Brauerei mit sehr kleinen Stichproben arbeitete und unter dem Namen „Student“ veröffentlichte.

df = 1 · df = 3 · df = 10 · Standardnormalverteilung

Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, hat aber dickere Ränder: Große Werte sind wahrscheinlicher als bei der Normalverteilung.
Deshalb sind ihre Quantile größer – Konfidenzintervalle werden breiter, Tests vorsichtiger.
Mit wachsender Zahl der Freiheitsgrade nähert sie sich der Normalverteilung. Ab etwa df = 30 ist der Unterschied klein.

Tabelle der t-Quantile

In der Tabelle steht der Wert $t$ mit $P(T \leq t) = \gamma$. Für zweiseitige Fragen nimmt man $\gamma = 1 - \frac{\alpha}{2}$: Ein 95-%-Konfidenzintervall oder ein zweiseitiger Test mit α = 5 % braucht die Spalte 0,975. Die letzte Zeile enthält die Quantile der Standardnormalverteilung.

df	0,9	0,95	0,975	0,99	0,995
1	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
2	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
3	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
4	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
5	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
6	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
7	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
8	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
9	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250
10	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
11	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
12	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
13	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
14	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
15	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
16	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921
17	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898
18	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878
19	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
20	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845
21	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831
22	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819
23	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807
24	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
25	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787
26	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
27	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
28	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
29	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756
30	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750
40	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704
50	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678
60	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660
80	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639
100	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626
200	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601
∞ (z)	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576

Werte für andere Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten berechnet der t-Verteilungs-Rechner.

Konfidenzintervall mit t

Merke: Konfidenzintervall für μ bei unbekanntem σ

\[\left[\overline{x} - t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}};\ \overline{x} + t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right] \qquad t = t_{n - 1;\,1 - \alpha/2}\]

Füllmenge von Saftflaschen

Acht Flaschen enthalten 498; 503; 501; 497; 505; 499; 502; 500 ml. Daraus folgen $\overline{x} = 500{,}625$ ml, $s \approx 2{,}669$ ml und $SE = \frac{2{,}669}{\sqrt{8}} \approx 0{,}944$ ml. Mit $t_{7;\,0{,}975} \approx 2{,}365$ ist das 95-%-Konfidenzintervall

\[500{,}625 \pm 2{,}365 \cdot 0{,}944 \;\Rightarrow\; [498{,}39;\ 502{,}86]\ \text{ml}\]

Hätte man fälschlich mit $z \approx 1{,}96$ gerechnet, wäre das Intervall mit $[498{,}78;\ 502{,}47]$ ml deutlich zu schmal – bei nur acht Werten ein spürbarer Unterschied.

Getestet wird mit derselben Größe: Der t-Test vergleicht $t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{SE}$ mit dem t-Quantil. Ist $\sigma$ bekannt, rechnet man den Gauß-Test (Hypothesentest mit der Normalverteilung).

Welcher Test passt?

Situation	Messwerte, ungefähr normalverteilt	nur Rangfolge, schief oder Ausreißer
Mittelwert gegen Sollwert	Gauß-Test (σ bekannt), Ein-Stichproben-t-Test	Wilcoxon-Test für den Median
zwei unabhängige Gruppen	Zwei-Stichproben-t-Test	Mann-Whitney-U-Test
dieselben Personen zweimal	gepaarter t-Test	Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test
drei und mehr Gruppen	Varianzanalyse	Kruskal-Wallis-Test
Zusammenhang zweier Merkmale	Pearson-Korrelation	Spearman, Kendall
Häufigkeiten in Kategorien	χ²-Test, bei kleinen Vierfeldertafeln der exakte Test nach Fisher

Übungsaufgaben

Stufe 1: Standardfehler, Stufe 2: t-Quantile aus der Tabelle, Stufe 3: Konfidenzintervall mit t.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Standardfehler

Aufgabe 1
$s = 2{,}1,$ $n = 49$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{2{,}1}{\sqrt{49}} = 0{,}3$
Aufgabe 2
$s = 6{,}8,$ $n = 50$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{6{,}8}{\sqrt{50}} \approx 0{,}96$
Aufgabe 3
$s = 0{,}6,$ $n = 81$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{0{,}6}{\sqrt{81}} \approx 0{,}07$
Aufgabe 4
$s = 18{,}4,$ $n = 50$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{18{,}4}{\sqrt{50}} \approx 2{,}6$
Aufgabe 5
$s = 22{,}7,$ $n = 50$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{22{,}7}{\sqrt{50}} \approx 3{,}21$
Aufgabe 6
$s = 14{,}9,$ $n = 12$. Standardfehler $SE\text{?}$

$SE \approx$

$SE = \tfrac{14{,}9}{\sqrt{12}} \approx 4{,}3$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Standardfehler, t-Quantile und Konfidenzintervall

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.

Sachaufgaben: Welcher Test, welche Testgröße?

Stufe 1: den passenden Test auswählen, Stufe 2: z, t oder U berechnen, Stufe 3: die Grenze des Ablehnungsbereichs für den Mittelwert bestimmen.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: Welcher Test passt?

Aufgabe 1
Drei Gruppen von Schülerinnen und Schülern bewerten drei verschiedene Lern-Apps mit Schulnoten. Gibt es Unterschiede zwischen den Apps? Welcher Test passt?

Kruskal-Wallis-Test – mehr als zwei unabhängige Gruppen, nur Rangfolge bzw. keine Normalverteilung.
Aufgabe 2
Aus 14 Messungen soll geprüft werden, ob die mittlere Lieferzeit eines Versandhändlers über den versprochenen 3 Tagen liegt. Die Werte sind ungefähr normalverteilt, σ ist unbekannt. Welcher Test passt?

Ein-Stichproben-t-Test – Mittelwert gegen einen Sollwert, σ unbekannt, Daten ungefähr normalverteilt.
Aufgabe 3
Ein Würfel wird 300-mal geworfen. Passt die Häufigkeit der Augenzahlen zu einem fairen Würfel? Welcher Test passt?

χ²-Anpassungstest – beobachtete Häufigkeiten von Kategorien gegen eine vermutete Verteilung.
Aufgabe 4
Eine Münze soll auf Fairness geprüft werden: Bei 60 Würfen kam 38-mal Zahl. Welcher Test passt?

Binomialtest – Trefferzahl bei n unabhängigen Versuchen gegen eine vermutete Wahrscheinlichkeit.

Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Sachaufgaben zu Tests: Welcher Test, Testgröße, Grenze