Taylorpolynom und Taylorreihe
Ein Taschenrechner „kennt“ kein Sinus – er rechnet mit Polynomen. Das Taylorpolynom ersetzt eine Funktion in der Nähe einer Stelle $x_0$ durch ein Polynom, das dort denselben Funktionswert, dieselbe Steigung, dieselbe Krümmung usw. hat. Je höher der Grad, desto größer der Bereich, in dem die Näherung gut ist.
Die Idee
Die Tangente $t(x) = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$ ist schon ein Taylorpolynom – vom Grad 1. Sie stimmt bei $x_0$ im Funktionswert und in der Steigung mit $f$ überein. Nimmst Du einen quadratischen Summanden dazu, kann das Polynom auch die Krümmung $f''(x_0)$ übernehmen, mit einem kubischen Summanden die dritte Ableitung und so weiter.
Blau: $\sin x$. Gestrichelt die Taylorpolynome um $x_0 = 0$: grün $T_1(x) = x$, orange $T_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$, violett $T_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$. Jeder weitere Summand vergrößert den Bereich, in dem Kurve und Polynom zusammenfallen.
Die Taylorformel
Taylorpolynom vom Grad n um x₀
Für $x_0 = 0$ heißt es auch Maclaurin-Polynom: $T_n(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n$.
Das Rezept hat drei Schritte – am übersichtlichsten in einer Ableitungstabelle:
- Leite $f$ so oft ab, wie der Grad $n$ verlangt.
- Setze $x_0$ in jede Ableitung ein.
- Teile den $k$-ten Wert durch $k!$ – das ist der Koeffizient vor $(x - x_0)^k$.
Das Zeichen $\sum$ ist das Summenzeichen, $k! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k$ die Fakultät (mit $0! = 1$). Die Ableitungen bildest Du mit den Ableitungsregeln.
Beispiel 1: f(x) = eˣ um x₀ = 0 bis Grad 3
Alle Ableitungen sind wieder $e^x$, an der Stelle 0 also immer $e^0 = 1$:
| k | $f^{(k)}(x)$ | $f^{(k)}(0)$ | Koeffizient $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $e^x$ | 1 | $1$ |
| 1 | $e^x$ | 1 | $1$ |
| 2 | $e^x$ | 1 | $\frac{1}{2}$ |
| 3 | $e^x$ | 1 | $\frac{1}{6}$ |
Kontrolle bei $x = 0{,}5$: $T_3(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}0208\ldots \approx 1{,}6458$. Der genaue Wert ist $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$.
Beispiel 2: f(x) = ln(x) um x₀ = 1 bis Grad 3
$f(x) = \ln x,\ \ f'(x) = \frac{1}{x},\ \ f''(x) = -\frac{1}{x^2},\ \ f'''(x) = \frac{2}{x^3}$. An der Stelle $x_0 = 1$ ergibt das $0,\ 1,\ -1,\ 2$.
Die Klammern $(x - 1)$ bleiben stehen. Ausmultiplizieren ist erlaubt, macht das Ergebnis aber unübersichtlicher.
Wichtige Taylorreihen um 0
Lässt Du den Grad gegen unendlich gehen, entsteht die Taylorreihe (eine Potenzreihe, siehe Folgen und Reihen; wie man ihren Konvergenzbereich bestimmt, steht unter Konvergenzradius). Diese Reihen solltest Du kennen – in Klammern steht, für welche $x$ sie gegen $f(x)$ konvergieren:
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ (alle $x$)
- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots$ (alle $x$)
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots$ (alle $x$)
- $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$ ($-1 < x \le 1$)
- $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ ($|x| < 1$, geometrische Reihe)
- $(1 + x)^a = 1 + a\,x + \frac{a(a - 1)}{2!}\,x^2 + \frac{a(a - 1)(a - 2)}{3!}\,x^3 + \ldots$ ($|x| < 1$), z. B. $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$
Beim Sinus kommen nur ungerade Potenzen vor (er ist punktsymmetrisch), beim Kosinus nur gerade. Deshalb ist für $\sin x$ das Taylorpolynom $T_4$ dasselbe wie $T_3$.
Tipp: Einsetzen statt Ableiten
Für $f(x) = e^{2x}$ musst Du nicht ableiten: Ersetze in der e-Reihe $x$ durch $2x$:
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{6} + \ldots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}\,x^3 + \ldots$
Genauso: $\cos(3x) = 1 - \frac{9}{2}\,x^2 + \ldots$ und $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \ldots$ (in die geometrische Reihe $-x^2$ einsetzen).
Wie genau ist die Näherung? Das Restglied
Der Fehler $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ heißt Restglied. Nach Lagrange gibt es eine Zwischenstelle $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$ mit
Das Restglied sieht aus wie der nächste Summand – nur dass die Ableitung an einer unbekannten Stelle $\xi$ steht. Für eine Fehlerabschätzung suchst Du eine obere Schranke für $|f^{(n+1)}|$ zwischen $x_0$ und $x$.
Beispiel: Fehler von T₃ bei e^0,5
Hier ist $f^{(4)}(\xi) = e^{\xi}$ mit $0 < \xi < 0{,}5$, also $e^{\xi} < e^{0{,}5} < 2$:
Der echte Fehler ist $1{,}6487 - 1{,}6458 \approx 0{,}0029$ – die Abschätzung stimmt.
Der Fehler wird klein, wenn $x$ nahe bei $x_0$ liegt (Faktor $(x - x_0)^{n+1}$) und wenn der Grad hoch ist (Faktor $\frac{1}{(n+1)!}$ wächst schnell).
Wofür braucht man Taylorpolynome?
- Näherungen in Physik und Technik: Für kleine Winkel (im Bogenmaß) gilt $\sin x \approx x$ und $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ – damit wird die Pendelgleichung lösbar.
- Grenzwerte: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + \ldots}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{6} + \ldots\right) = 1$. Mehr dazu beim Grenzwert-Rechner.
- Funktionswerte berechnen: So bestimmen Rechner und Computer Werte wie $e^{0{,}3}$ oder $\ln(1{,}2)$.
- Kurvendiskussion: Ist $f'(x_0) = 0$, zeigt das Taylorpolynom 2. Grades $f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
- Differentialgleichungen: Viele Differentialgleichungen löst man näherungsweise mit Potenzreihen.
Typische Fehler
- Die Fakultät vergessen: Der Koeffizient ist $\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, nicht $f^{(k)}(x_0)$.
- Bei $x_0 \ne 0$ mit $x^k$ statt mit $(x - x_0)^k$ schreiben.
- In den Koeffizienten noch $x$ stehen lassen – dort gehören nur Zahlen hin, die Ableitungen werden bei $x_0$ ausgewertet.
- Grad und Anzahl der Summanden verwechseln: $T_3$ von $\sin x$ hat nur zwei Summanden, $x - \frac{x^3}{6}$.
- Eine Reihe außerhalb ihres Konvergenzbereichs benutzen: Die ln-Reihe liefert für $\ln(1 + 3)$ Unsinn.
Online üben
Stufe 1: um 0 (bekannte Reihen)
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Aufgabe 1
\(f(x) = e^{-x}:\ T_{3}(x)\)\(T_{3}(x) =\)\(T_{3}(x) = 1 - x + \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{6}x^{3}\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = \sin(-2x):\ T_{3}(x)\)\(T_{3}(x) =\)\(T_{3}(x) = -2x + \frac{4}{3}x^{3}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \sin(-3x):\ T_{3}(x)\)\(T_{3}(x) =\)\(T_{3}(x) = -3x + \frac{9}{2}x^{3}\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = e^{3x}:\ T_{2}(x)\)\(T_{2}(x) =\)\(T_{2}(x) = 1 + 3x + \frac{9}{2}x^{2}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = e^{2x}:\ T_{4}(x)\)\(T_{4}(x) =\)\(T_{4}(x) = 1 + 2x + 2x^{2} + \frac{4}{3}x^{3} + \frac{2}{3}x^{4}\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = e^{x}:\ T_{2}(x)\)\(T_{2}(x) =\)\(T_{2}(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Taylorpolynome
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 13.
Eigene Funktionen entwickeln? Der Taylor-Rechner zeigt die Ableitungstabelle, das Taylorpolynom und den Graphen. Zur Wiederholung: Ableitungsregeln, e-Funktion und ln-Funktion.
Weiterlesen: Taylor-Formel, Taylorreihe bei Wikipedia