Venn-Diagramme und Mengenoperationen
Ein Venn-Diagramm zeigt Mengen als Kreise in einem Rechteck, der Grundmenge $G$. Wo sich Kreise überlappen, liegen die Elemente, die zu beiden Mengen gehören. So sieht man auf einen Blick, was Schnitt, Vereinigung oder Komplement bedeuten – und man kann damit geschickt zählen. Die Schreibweisen für Mengen findest Du unter Mengen und Logik.
Die Grundoperationen
| Operation | Zeichen | enthält alle Elemente, die … | Beispiel mit $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5\}$, $G = \{1, \ldots, 6\}$ |
|---|---|---|---|
| Schnittmenge | $A \cap B$ | in $A$ und in $B$ liegen | $\{3, 4\}$ |
| Vereinigung | $A \cup B$ | in $A$ oder in $B$ (oder in beiden) liegen | $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ |
| Differenz | $A \setminus B$ | in $A$, aber nicht in $B$ liegen („$A$ ohne $B$“) | $\{1, 2\}$ |
| Komplement | $\overline{A}$ | in $G$, aber nicht in $A$ liegen | $\{5, 6\}$ |
| symmetrische Differenz | $A \triangle B$ | in genau einer der beiden Mengen liegen | $\{1, 2, 5\}$ |
Zwei Mengen ohne gemeinsames Element heißen disjunkt ($A \cap B = \emptyset$) – ihre Kreise überlappen dann nicht. Ist jedes Element von $A$ auch in $B$, ist $A$ eine Teilmenge von $B$ ($A \subseteq B$), der Kreis von $A$ liegt ganz in $B$.
Selbst ausprobieren: zwei Mengen
Klicke auf einen Ausdruck oder tippe einen eigenen ein, z. B. A ohne B, !(A | B) oder (A ∪ B) \ (A ∩ B). Unter „Mit Elementen“ kannst Du die Mengen selbst festlegen – das Diagramm sortiert die Elemente in die richtigen Felder.
Drei Mengen
Drei Kreise teilen die Grundmenge in acht Bereiche: einen in allen drei Mengen, drei in genau zwei, drei in genau einer und einen außerhalb aller Kreise. Jedes Element liegt in genau einem dieser Bereiche – so wie jede Zeile einer Wahrheitstafel mit drei Aussagen genau eine Belegung beschreibt.
Rechengesetze, die man im Diagramm sieht
- Distributivgesetze: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ und $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
- De Morgan: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ und $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ – das Komplement dreht ∪ und ∩ um.
- Differenz: $A \setminus B = A \cap \overline{B}$.
Zum Nachprüfen färbst Du oben beide Seiten nacheinander ein – es entsteht jedes Mal dasselbe Bild. Dieselben Gesetze gelten in der Logik für ∧ und ∨.
Zählen mit dem Venn-Diagramm
Mit $|A|$ bezeichnet man die Anzahl der Elemente von $A$. Wer $|A|$ und $|B|$ einfach addiert, zählt die Elemente im Schnitt doppelt. Deshalb gilt die Siebformel (Prinzip von Inklusion und Exklusion):
Beispiel: Sport in der Klasse
In einer Klasse mit 28 Kindern spielen 16 Fußball (F) und 12 Handball (H), 5 spielen beides. Dann spielen $16 + 12 - 5 = 23$ mindestens eine der Sportarten und $28 - 23 = 5$ keine. „Nur Fußball“ sind $16 - 5 = 11$, „nur Handball“ $12 - 5 = 7$.
Für drei Mengen werden zuerst alle drei Anzahlen addiert, dann die Schnitte zu zweit abgezogen – dabei ist die Mitte aber dreimal hinzugekommen und dreimal abgezogen worden, also kommt sie noch einmal dazu:
Beispiel: Umfrage unter 100 Personen
45 trinken Tee (T), 40 Kaffee (K), 30 Kakao (C). Tee und Kaffee: 15, Tee und Kakao: 10, Kaffee und Kakao: 8, alle drei: 4. Fülle das Diagramm von innen nach außen: Mitte 4; nur T und K: $15 - 4 = 11$; nur T und C: $10 - 4 = 6$; nur K und C: $8 - 4 = 4$; nur T: $45 - 11 - 6 - 4 = 24$; nur K: $40 - 11 - 4 - 4 = 21$; nur C: $30 - 6 - 4 - 4 = 16$.
Zusammen $4 + 11 + 6 + 4 + 24 + 21 + 16 = 86$ – genau das liefert auch die Siebformel: $45 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 4 = 86$. Also trinken 14 Personen keins der drei Getränke.
Dasselbe Prinzip steckt in der Vierfeldertafel und im Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Typische Fehler
- Doppelt gezählt: $|A \cup B|$ ist nicht $|A| + |B|$, wenn sich die Mengen überschneiden.
- „Nur A“ verwechselt: $|A|$ enthält auch die Überschneidungen. „Nur in $A$“ ist $|A \setminus (B \cup C)|$.
- Komplement ohne Grundmenge: $\overline{A}$ hängt davon ab, was $G$ ist. Ohne Grundmenge ist das Komplement nicht festgelegt.
- De Morgan falsch: $\overline{A \cup B}$ ist nicht $\overline{A} \cup \overline{B}$, sondern $\overline{A} \cap \overline{B}$.
Online üben
Mengen gibst Du mit Semikolon getrennt ein, z. B. 2; 5; 7 (die Reihenfolge ist egal). Bei Stufe 2 ist die Grundmenge $G = \{1, 2, \ldots, 10\}$.
Stufe 3: Zählen mit der Siebformel
-
Aufgabe 1
\(|A| = 21,\) \(|A \cap B| = 9,\) \(|A \cap C| = 9,\) \(|A \cap B \cap C|\) \(= 5:\) nur in \(A = ?\)\(21 - 9 - 9 + 5 = 8\)
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Aufgabe 2
\(|A| = 8,\) \(|A \cap B| = 3,\) \(|A \cap C| = 5,\) \(|A \cap B \cap C|\) \(= 2:\) nur in \(A = ?\)\(8 - 3 - 5 + 2 = 2\)
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Aufgabe 3
\(|G| = 26,\) \(|A| = 10,\) \(|B| = 16,\) \(|A \cap B| = 5:\) \(|A \cup B| = ?\)\(|A \cup B| = 10 + 16 - 5 = 21\)
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Aufgabe 4
\(|A| = 12,\) \(|B| = 21,\) \(|C| = 18,\) Schnitte zu zweit: \(5,\) \(5,\) \(9,\) zu dritt: \(3:\ |A \cup B \cup C| = ?\)\(12 + 21 + 18 - 5 - 5 - 9 + 3 = 35\)
-
Aufgabe 5
\(|A| = 22,\) \(|B| = 23,\) \(|C| = 22,\) Schnitte zu zweit: \(9,\) \(8,\) \(8,\) zu dritt: \(4:\ |A \cup B \cup C| = ?\)\(22 + 23 + 22 - 9 - 8 - 8 + 4 = 46\)
-
Aufgabe 6
\(|G| = 20,\) \(|A| = 9,\) \(|B| = 6,\) \(|A \cap B| = 2:\) \(|(A \cup B) \text{ ohne } (A \cap B)|\) \(= ?\)\(7 + 4 = 11\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Mengenoperationen und Venn-Diagramme
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–13.
Weiterlesen: Mengendiagramm bei Wikipedia