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Bruchterm-Rechner

Gib einen Bruchterm ein – einen einzelnen Bruch zum Kürzen, eine Summe oder Differenz, ein Produkt, einen Quotienten oder einen Doppelbruch. Der Rechner bestimmt die Definitionsmenge, zerlegt in Faktoren, bildet den Hauptnenner und kürzt. Jeder Schritt wird angezeigt.

Neu

Schreibweise: Bruchstrich als /, Zähler und Nenner in Klammern, z. B. (x+1)/(x-2). Malpunkt als * (2x geht auch), Hochzahlen mit ^ (x^2). Mit „:“ teilst Du durch den ganzen folgenden Bruch: (x^2-9)/(4x) : (x+3)/(2x). Dezimalzahlen mit Komma. Erlaubt sind bis zu drei Variablen (einzelne Buchstaben).

Beispiele: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ kürzen $\frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ $\frac{x}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}$ $\frac{x^2 - 9}{4x} : \frac{x + 3}{2x}$ $\frac{2x + 4}{x^2 - 4} \cdot \frac{x - 2}{6x}$ Doppelbruch $\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$ $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$

Ergebnis

Zusammengefasst und gekürzt:

\[\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1} = -\frac{x + 1}{x - 1}\]
\[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0;\ 1 \right\}\]
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Rechenweg

  1. Definitionsmenge

    Setze jeden Nenner gleich 0 – am einfachsten in Faktoren zerlegt. Für diese Zahlen wird ein Nenner 0 – sie sind ausgeschlossen.

    \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0;\ 1 \right\}\]

  2. Teilterme zusammenfassen

    Zuerst werden Summen mit Brüchen (z. B. in einem Doppelbruch) jeweils auf einen Bruchstrich gebracht.

    \[\frac{1}{x} + 1 = \frac{x + 1}{x}\]
    \[\frac{1}{x} - 1 = -\frac{x - 1}{x}\]

  3. Auf einen Bruchstrich schreiben

    Durch einen Bruch teilst Du, indem Du mit seinem Kehrwert malnimmst. Beim Malnehmen kommen alle Zähler in den Zähler und alle Nenner in den Nenner. Multipliziere noch nicht aus, sondern zerlege jeden Teil in Faktoren.

    \[-\frac{\left(x + 1\right) \cdot x}{x \cdot \left(x - 1\right)}\]

  4. Kürzen

    Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner: $x$. Streiche sie.

    \[-\frac{\left(x + 1\right) \cdot x}{x \cdot \left(x - 1\right)} = -\frac{x + 1}{x - 1}\]

So rechnet der Rechner

  1. Definitionsmenge: Jeder Nenner wird in Faktoren zerlegt. Die Nullstellen dieser Faktoren sind verboten. Bei einer Division durch einen Bruch ist auch die Nullstelle seines Zählers verboten.
  2. Einzelner Bruch: Zähler und Nenner werden faktorisiert – durch Ausklammern, mit einer binomischen Formel oder über die Nullstellen. Gemeinsame Faktoren werden gestrichen.
  3. Summe oder Differenz: Aus den zerlegten Nennern entsteht der Hauptnenner. Jeder Bruch wird passend erweitert, die Zähler werden zusammengefasst und das Ergebnis, wenn möglich, gekürzt.
  4. Produkt, Quotient, Doppelbruch: Teilen wird zu Malnehmen mit dem Kehrwert. Alles kommt auf einen Bruchstrich, in Faktoren zerlegt – und wird gekürzt, bevor etwas ausmultipliziert wird.

Das Faktorisieren und den größten gemeinsamen Teiler von Polynomen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Zur Sicherheit vergleicht der Rechner das Ergebnis an mehreren Stellen mit dem eingegebenen Term.

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Wie man Bruchterme von Hand kürzt und zusammenfasst, mit Kürz-Trainer und Übungen, steht bei den Bruchtermen. Gleichungen mit $x$ im Nenner löst Du bei den Bruchgleichungen. Gewöhnliche Brüche ohne Variable rechnet der Bruchrechner.

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