Bruchterme
Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem im Nenner eine Variable steht – zum Beispiel $\frac{3}{x}$, $\frac{x + 1}{x - 2}$ oder $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$. Du rechnest mit ihm fast so wie mit gewöhnlichen Brüchen. Neu sind zwei Dinge: Manche Zahlen sind für die Variable verboten, und vor dem Kürzen musst Du Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen.
Die Definitionsmenge
Ein Nenner darf nie 0 werden. Bei $\frac{5}{x - 4}$ ist deshalb $x = 4$ ausgeschlossen. Alle erlaubten Zahlen bilden die Definitionsmenge $\mathbb{D}$.
Merke: Definitionsmenge bestimmen
- Schreibe jeden Nenner als Produkt (ausklammern, binomische Formeln).
- Setze jeden Faktor gleich 0 – die Lösungen sind die verbotenen Zahlen.
- Schreibe $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{\ldots\}$.
Beispiele
Bei $\frac{4}{x^2 + 1}$ ist keine Zahl verboten: $x^2 + 1$ ist immer mindestens 1. Dann gilt $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.
Bruchterme kürzen
Beim Kürzen teilst Du Zähler und Nenner durch denselben Faktor. Das klappt nur mit Faktoren – also mit Teilen eines Produkts, nie mit einzelnen Summanden. Deshalb kommt vor dem Kürzen immer das Faktorisieren.
Merke: Kürzen in drei Schritten
- Zähler faktorisieren – gemeinsamen Faktor ausklammern, binomische Formel erkennen oder über Nullstellen zerlegen.
- Nenner faktorisieren – genauso.
- Gleiche Faktoren streichen. Die Definitionsmenge des Ausgangsterms bleibt bestehen.
Beispiel 1: ausklammern
Beispiel 2: binomische Formeln
Im Zähler steckt die 3. binomische Formel, im Nenner die 1. binomische Formel – mehr dazu bei den binomischen Formeln.
Beispiel 3: Vorzeichen umdrehen
Sind zwei Faktoren bis auf das Vorzeichen gleich, klammerst Du $-1$ aus: $3 - x = -(x - 3)$.
Typischer Fehler: aus Summen kürzen
$\frac{x + 6}{x}$ lässt sich nicht zu $6$ kürzen, und $\frac{x + 6}{6}$ nicht zu $x$. Das $x$ bzw. die $6$ ist hier ein Summand, kein Faktor. Prüfe mit einer Zahl: Für $x = 2$ ist $\frac{2 + 6}{2} = 4$ – und eben nicht 6.
Kürz-Trainer
Probiere es aus: Zerlege den Bruchterm in Faktoren und tippe dann einen Faktor im Zähler und den passenden Faktor im Nenner an. Bei Zahlen wird durch den größten gemeinsamen Teiler gekürzt.
Kürz-Trainer
Beispiel: \(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3x} = \frac{x - 3}{x}\) – Zähler und Nenner werden zuerst in Faktoren zerlegt, dann wird der gemeinsame Faktor gestrichen.
Erweitern und Hauptnenner
Beim Erweitern nimmst Du Zähler und Nenner mit demselben Term mal: $\frac{2}{x} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)}$. Das brauchst Du, um Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Der Hauptnenner ist der kleinste gemeinsame Nenner. Du findest ihn so: Zerlege alle Nenner in Faktoren und nimm jeden Faktor so oft, wie er höchstens in einem der Nenner vorkommt.
Beispiel: Hauptnenner
Bruchterme addieren und subtrahieren
Merke
- Nenner faktorisieren und den Hauptnenner bestimmen.
- Jeden Bruch mit den fehlenden Faktoren erweitern.
- Zähler auf einen Bruchstrich schreiben – mit Klammern, wenn ein Minus davorsteht.
- Zähler zusammenfassen und prüfen, ob sich kürzen lässt.
Beispiel
Die Klammer um $2x - 2$ ist wichtig: Das Minus gilt für den ganzen Zähler, deshalb wird aus $-2$ ein $+2$.
Bruchterme multiplizieren und dividieren
Hier gelten die Regeln der Bruchrechnung: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Dividieren heißt: mit dem Kehrwert malnehmen. Multipliziere aber nicht sofort aus – zerlege zuerst in Faktoren und kürze, das spart viel Rechnerei.
Beispiel: multiplizieren
Beispiel: dividieren
Beim Teilen ist zusätzlich jede Zahl verboten, für die der Zähler des Divisors 0 wird – hier $x = -2$. Durch 0 darf man auch dann nicht teilen.
Doppelbrüche
Steht im Zähler oder Nenner wieder ein Bruch, spricht man von einem Doppelbruch. Zwei Wege führen zum Ziel:
- Zähler und Nenner jeweils auf einen Bruchstrich bringen und dann mit dem Kehrwert malnehmen, oder
- Zähler und Nenner mit dem Hauptnenner der kleinen Brüche erweitern – dann verschwinden die inneren Brüche auf einen Schlag.
Beispiel: mit $x$ erweitern
Online üben: Definitionsmenge und Kürzen
Bei Stufe 1 gibst Du die verbotenen Zahlen mit ; getrennt ein (oder keine). Bei den anderen Stufen tippst Du den gekürzten Term ein, z. B. (x-4)/(x+4).
Stufe 1: Definitionsmenge bestimmen
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Aufgabe 1
\(\frac{3x}{x + 4}\)\(x \neq\)\(x \neq -4\)
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Aufgabe 2
\(\frac{6}{5x + 1}\)\(x \neq\)\(x \neq -\frac{1}{5}\)
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Aufgabe 3
\(\frac{x + 5}{7x^{2}}\)\(x \neq\)\(x \neq 0\)
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Aufgabe 4
\(\frac{1}{4x^{2}}\)\(x \neq\)\(x \neq 0\)
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Aufgabe 5
\(\frac{x + 6}{5x - 4}\)\(x \neq\)\(x \neq \frac{4}{5}\)
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Aufgabe 6
\(\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 6)}\)\(x \neq\)\(x \neq -6,\ x \neq 2\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Bruchterme: Definitionsmenge und Kürzen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Online üben: Rechnen mit Bruchtermen
Gib das zusammengefasste und gekürzte Ergebnis ein, z. B. (x+5)/((x-1)*(x+1)) – ob Du den Nenner ausmultiplizierst, ist egal.
Stufe 3: multiplizieren, dividieren, Doppelbrüche
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Aufgabe 1
\(\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{5}{x}}\)\(\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{5}{x}} = \frac{x + 1}{5}\)
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Aufgabe 2
\(\frac{\frac{1}{x} + 4}{\frac{6}{x}}\)\(\frac{\frac{1}{x} + 4}{\frac{6}{x}} = \frac{4x + 1}{6}\)
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Aufgabe 3
\(\frac{x^{2} - 36}{6x} \cdot \frac{3x}{x + 6}\)\(\frac{x^{2} - 36}{6x} \cdot \frac{3x}{x + 6} = \frac{x - 6}{2}\)
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Aufgabe 4
\(\frac{1 + \frac{5}{x}}{1 - \frac{25}{x^{2}}}\)\(\frac{1 + \frac{5}{x}}{1 - \frac{25}{x^{2}}} = \frac{x}{x - 5}\)
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Aufgabe 5
\(\frac{2x + 8}{x^{2}} : \frac{x + 4}{4x}\)\(\frac{2x + 8}{x^{2}} : \frac{x + 4}{4x} = \frac{8}{x}\)
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Aufgabe 6
\(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}\)\(\frac{1 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{x}{x - 2}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Rechnen mit Bruchtermen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Eigene Bruchterme kürzen, addieren oder teilen mit Rechenweg: Bruchterm-Rechner. Gleichungen mit Bruchtermen löst Du bei den Bruchgleichungen. Die Grundlagen zum Faktorisieren findest Du unter Klammern auflösen und ausklammern.
Weiterlesen: Bruchrechnung bei Wikipedia