Gleichungen und Ungleichungen mit Parameter
In $x^2 + kx + 9 = 0$ steht neben der Variablen $x$ noch ein Buchstabe $k$ – ein Parameter. Er steht für eine feste, aber noch unbekannte Zahl. Typische Fragen lauten: Für welche Werte von $k$ hat die Gleichung zwei Lösungen? Wann keine? Die Antwort ist dann eine Menge von $k$-Werten.
Lineare Gleichungen mit Parameter
Eine Gleichung der Form $a \cdot x = b$ löst Du durch Teilen durch $a$ – aber nur, wenn $a \neq 0$ ist. Darum gehört zu jedem Parameter vor dem $x$ eine Fallunterscheidung:
- $a \neq 0$: genau eine Lösung $x = \frac{b}{a}$,
- $a = 0$ und $b = 0$: Die Gleichung lautet $0 = 0$ – jede Zahl ist Lösung,
- $a = 0$ und $b \neq 0$: Die Gleichung lautet $0 = b$ – keine Lösung.
Beispiel: $(k - 2) \cdot x = k^2 - 4$
Für $k \neq 2$ darfst Du durch $k - 2$ teilen: $x = \frac{k^2 - 4}{k - 2} = \frac{(k - 2)(k + 2)}{k - 2} = k + 2$.
Für $k = 2$ steht da $0 \cdot x = 0$ – dann ist jedes $x$ eine Lösung.
Quadratische Gleichungen: Die Diskriminante entscheidet
Bei $ax^2 + bx + c = 0$ (mit $a \neq 0$) hängt die Anzahl der Lösungen nur von der Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ ab – dem Term unter der Wurzel in der abc-Formel:
| Diskriminante | Anzahl der Lösungen | Parabel $y = ax^2 + bx + c$ |
|---|---|---|
| $D > 0$ | zwei | schneidet die x-Achse zweimal |
| $D = 0$ | eine | berührt die x-Achse |
| $D < 0$ | keine | trifft die x-Achse nicht |
Beispiel: $x^2 + kx + 9 = 0$
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36$.
- Zwei Lösungen: $k^2 > 36$, also $k < -6$ oder $k > 6$.
- Eine Lösung: $k^2 = 36$, also $k = -6$ oder $k = 6$.
- Keine Lösung: $k^2 < 36$, also $-6 < k < 6$.
Wenn der Parameter vor $x^2$ steht
Dann gibt es einen Sonderfall: Wird der Faktor vor $x^2$ zu 0, ist die Gleichung gar nicht mehr quadratisch, sondern linear.
Beispiel: $t \cdot x^2 + 4x + 2 = 0$
Fall $t = 0$: $4x + 2 = 0$ hat genau eine Lösung, $x = -\frac{1}{2}$.
Fall $t \neq 0$: $D = 16 - 8t$. Zwei Lösungen für $16 - 8t > 0$, also $t < 2$; eine für $t = 2$; keine für $t > 2$.
Zusammen: zwei Lösungen für $t \in\ ]-\infty;\,0[\ \cup\ ]0;\,2[$, genau eine für $t = 0$ oder $t = 2$, keine für $t > 2$.
Ungleichungen mit Parameter
Beispiel 1: Für welche $a$ gilt $x^2 + ax + 4 > 0$ für alle $x$?
Die Parabel ist nach oben geöffnet. Sie liegt ganz oberhalb der x-Achse, wenn sie keine Nullstelle hat: $D = a^2 - 16 < 0$, also $-4 < a < 4$.
Beispiel 2: $a \cdot x > 2$
Für $a > 0$ ist $x > \frac{2}{a}$. Für $a < 0$ dreht sich beim Teilen das Zeichen um: $x < \frac{2}{a}$. Für $a = 0$ steht da $0 > 2$ – das ist nie erfüllt.
Schnittpunkte mit Parameter
Beispiel: Gerade $y = mx$ und Parabel $y = x^2 + 1$
Gleichsetzen: $x^2 + 1 = mx$, also $x^2 - mx + 1 = 0$ mit $D = m^2 - 4$.
Zwei Schnittpunkte für $m < -2$ oder $m > 2$, keine für $-2 < m < 2$. Für $m = \pm 2$ gibt es genau einen gemeinsamen Punkt – dann ist die Gerade eine Tangente an die Parabel.
Solche Überlegungen sind die Grundlage für Funktionenscharen in der Oberstufe.
Online üben
Antworte mit dem Parameter, zum Beispiel k < -4 oder k > 4, als Intervall ]-4; 4[ oder bei einzelnen Werten mit Semikolon: -4; 4.
Stufe 1: Diskriminante mit Parameter
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Aufgabe 1
\(x^2 + kx + 4 = 0:\) genau zwei Lösungen für welche k?\(k:\)\(D = k^2 - 16 > 0\) \(\Rightarrow\ k \in ]-\infty;\) \(-4[ \cup ]4;\) \(\infty[\)
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Aufgabe 2
\(x^2 - 2x + k = 0:\) genau eine Lösung für welche k?\(k =\)\(D = 4 - 4k = 0\ \Rightarrow\ k = 1\)
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Aufgabe 3
\(x^2 + kx + 4 = 0:\) keine Lösung für welche k?\(k:\)\(D = k^2 - 16 < 0\ \Rightarrow\ k \in ]-4;\,4[\)
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Aufgabe 4
\(x^2 + 8x + k = 0:\) keine Lösung für welche k?\(k:\)\(D = 64 - 4k < 0\ \Rightarrow\ k \in ]16;\,\infty[\)
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Aufgabe 5
\(x^2 + kx + 36 = 0:\) genau zwei Lösungen für welche k?\(k:\)\(D = k^2 - 144\) \(> 0\) \(\Rightarrow\ k \in ]-\infty;\) \(-12[ \cup ]12;\) \(\infty[\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gleichungen und Ungleichungen mit Parameter
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Grundlagen: pq-Formel, lineare Gleichungen und quadratische Ungleichungen.
Weiterlesen: Parameter (Mathematik), Diskriminante bei Wikipedia