Gleichungen mit Substitution lösen
Manche Gleichungen sehen kompliziert aus, sind aber verkleidete quadratische Gleichungen. In $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ steckt zum Beispiel $z^2 - 10z + 9 = 0$, wenn man $x^2$ als neue Variable $z$ auffasst. Dieses Ersetzen heißt Substitution. Danach hilft die bekannte pq-Formel weiter.
Das Prinzip in drei Schritten
- Ersetzen: Finde einen Term $u$, der in der Gleichung einmal einfach und einmal im Quadrat vorkommt, und schreibe $z = u$.
- Lösen: Löse die neue, quadratische Gleichung in $z$.
- Zurück ersetzen: Setze jede Lösung für $z$ wieder in $u = z$ ein und löse nach $x$ auf. Prüfe dabei, ob $u = z$ überhaupt möglich ist.
Achtung
Der dritte Schritt wird am häufigsten vergessen: Gesucht ist $x$, nicht $z$! Und nicht jedes $z$ führt zu einer Lösung – $x^2$, $e^x$, $2^x$ und $\sqrt{x}$ können zum Beispiel nie negativ sein.
Biquadratische Gleichungen: $z = x^2$
Beispiel: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
Mit $z = x^2$ ist $x^4 = z^2$: $\quad z^2 - 10z + 9 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = 1,\ z_2 = 9$.
Zurück: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ und $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. Also $\mathbb{L} = \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}$.
Eine biquadratische Gleichung hat 0, 1, 2, 3 oder 4 Lösungen: Jedes positive $z$ liefert zwei, $z = 0$ eine und ein negatives $z$ keine. Weitere Beispiele stehen bei den Gleichungen höheren Grades.
Gleichungen mit $x^6$ und $x^3$: $z = x^3$
Beispiel: $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$
Mit $z = x^3$: $\quad z^2 - 7z - 8 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = -1,\ z_2 = 8$.
Zurück: $x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$ und $x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. Die dritte Wurzel darf man auch aus negativen Zahlen ziehen. $\mathbb{L} = \{-1;\ 2\}$.
Exponentialgleichungen: $z = e^x$ oder $z = 2^x$
Wegen $e^{2x} = (e^x)^2$ und $4^x = (2^x)^2$ werden solche Gleichungen ebenfalls quadratisch.
Beispiel 1: $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$
Mit $z = e^x$: $\quad z^2 - 5z + 6 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = 2,\ z_2 = 3$.
Zurück: $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2) \approx 0{,}693$ und $e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3) \approx 1{,}099$.
Beispiel 2: $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$
Mit $z = 2^x$: $\quad z^2 - 6z + 8 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = 2,\ z_2 = 4$. Zurück: $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$ und $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Wurzel- und Logarithmusgleichungen: $z = \sqrt{x}$ oder $z = \ln x$
Beispiel 1: $x - 3\sqrt{x} - 4 = 0$
Mit $z = \sqrt{x}$ ist $x = z^2$: $\quad z^2 - 3z - 4 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = -1,\ z_2 = 4$.
$\sqrt{x} = -1$ ist unmöglich. Aus $\sqrt{x} = 4$ folgt $x = 16$. Probe: $16 - 3 \cdot 4 - 4 = 0$ ✓
Beispiel 2: $(\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0$
Mit $z = \ln x$: $\quad z^2 - z - 2 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = -1,\ z_2 = 2$. Zurück: $x = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$ und $x = e^2 \approx 7{,}389$.
Ganze Klammern ersetzen
Beispiel: $(x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) + 24 = 0$
Ausmultiplizieren wäre mühsam. Mit $z = x^2 - 2x$: $\quad z^2 - 11z + 24 = 0 \;\Rightarrow\; z_1 = 3,\ z_2 = 8$.
Zurück: $x^2 - 2x = 3$, also $x^2 - 2x - 3 = 0$ mit $x = -1$ oder $x = 3$, und $x^2 - 2x = 8$, also $x^2 - 2x - 8 = 0$ mit $x = -2$ oder $x = 4$. Zusammen: $\mathbb{L} = \{-2;\ -1;\ 3;\ 4\}$.
Übersicht: Welche Substitution passt?
| Die Gleichung enthält … | Substitution | Rücksubstitution | Achte auf |
|---|---|---|---|
| $x^4$ und $x^2$ | $z = x^2$ | $x = \pm\sqrt{z}$ | nur $z \ge 0$ |
| $x^6$ und $x^3$ | $z = x^3$ | $x = \sqrt[3]{z}$ | auch negative $z$ erlaubt |
| $e^{2x}$ und $e^x$ | $z = e^x$ | $x = \ln(z)$ | nur $z > 0$ |
| $4^x$ und $2^x$ | $z = 2^x$ | $x = \frac{\ln(z)}{\ln(2)}$ | nur $z > 0$ |
| $x$ und $\sqrt{x}$ | $z = \sqrt{x}$ | $x = z^2$ | nur $z \ge 0$, Probe |
| $(\ln x)^2$ und $\ln x$ | $z = \ln x$ | $x = e^z$ | jedes $z$ möglich |
| $\frac{1}{x^4}$ und $\frac{1}{x^2}$ | $z = \frac{1}{x^2}$ | $x = \pm\frac{1}{\sqrt{z}}$ | nur $z > 0$ |
| eine Klammer und ihr Quadrat | $z = $ Klammer | Klammer $= z$ lösen | oft wieder quadratisch |
Online üben
Gib alle Lösungen mit Semikolon getrennt ein. Wurzeln schreibst Du als sqrt(3), Logarithmen als ln(2), Potenzen von e als e^(2). Gerundete Dezimalzahlen werden auch akzeptiert.
Stufe 3: ln, 2ˣ, Klammern und Brüche
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Aufgabe 1
\((\ln x)^2 - 2\ln x - 3 = 0\)\(x =\)\(z = \ln x:\ z^{2} - 2z - 3\) \(= 0,\) \(\ln x = -1\ \text{oder}\ 3\) \(\Rightarrow\ L = \{e^{-1};\ e^{3}\}\)
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Aufgabe 2
\(4^{x} - 5\cdot 2^{x} + 6 = 0\)\(x =\)\(z = 2^x\ (4^x = z^2):\ z^{2} - 5z + 6\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ L = \{1;\ \frac{\ln(3)}{\ln(2)}\}\)
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Aufgabe 3
\((\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0\)\(x =\)\(z = \ln x:\ z^{2} - z - 2\) \(= 0,\) \(\ln x = -1\ \text{oder}\ 2\) \(\Rightarrow\ L = \{e^{-1};\ e^{2}\}\)
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Aufgabe 4
\(\frac{1}{x^4} - \frac{25}{x^2} + 144 = 0\)\(x =\)\(z = \frac{1}{x^2}:\ z^{2} - 25z + 144\) \(= 0,\) \(x^2 = \frac{1}{9}\ \text{oder}\ \frac{1}{16}\) \(\Rightarrow\ L = \{-\frac{1}{3};\ -\frac{1}{4};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{3}\}\)
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Aufgabe 5
\(4^{x} - 6\cdot 2^{x} + 8 = 0\)\(x =\)\(z = 2^x\ (4^x = z^2):\ z^{2} - 6z + 8\) \(= 0\) \(\Rightarrow\ L = \{1;\ 2\}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Gleichungen mit Substitution lösen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–12.
Gleichungen dritten Grades ohne passende Substitution löst Du mit den Verfahren bei den kubischen Gleichungen. Rechenregeln für eˣ und ln findest Du bei der e-Funktion und beim Logarithmus; mit Substitution integrieren erklärt die Seite Integrationsmethoden.
Weiterlesen: Substitution (Mathematik), Biquadratische Gleichung bei Wikipedia