Ungleichungs-Rechner

Gib eine Ungleichung ein – linear, quadratisch, mit höheren Potenzen oder mit $x$ im Nenner. Der Rechner bringt alles auf eine Seite, zerlegt in Faktoren, stellt die Vorzeichentabelle auf und gibt die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an, dazu den Zahlenstrahl und den Graphen.

Nicht definierte Stellen (Nenner 0) gehören nie zur Lösungsmenge.

Rechenweg

1. Definitionsmenge

   Kein Nenner darf 0 werden. Diese Zahlen sind ausgeschlossen – sie können nie zur Lösungsmenge gehören.

   \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\]

2. Auf eine Seite bringen und faktorisieren

   Bring alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. Dann wird zusammengefasst und in Faktoren zerlegt. Wichtig: Nicht mit dem Nenner malnehmen – sein Vorzeichen hängt von x ab. Stattdessen entscheidet die Vorzeichentabelle.

   \[\frac{1}{x} - x > 0\]

   \[-\frac{\left(x + 1\right)\left(x - 1\right)}{x} > 0\]

3. Kritische Stellen

   An diesen Stellen kann h(x) das Vorzeichen wechseln. Dazwischen bleibt das Vorzeichen gleich.

   \[x + 1 = 0\quad\Rightarrow\quad x = -1\]

   \[x - 1 = 0\quad\Rightarrow\quad x = 1\]

   \[\text{Nenner: } x = 0\quad\Rightarrow\quad x = 0\quad\text{(nicht definiert)}\]

4. Vorzeichentabelle

   Für jeden Bereich zwischen den Stellen wird das Vorzeichen jedes Faktors bestimmt (z. B. mit einer Testzahl). Das Vorzeichen von h(x) ist das Produkt der Vorzeichen.

   $x$	$x < -1$	$-1$	$-1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
   $-1$	−	−	−	−	−	−	−
   $x + 1$	−	0	+	+	+	+	+
   $x - 1$	−	−	−	−	−	0	+
   $x$ Nenner	−	−	−	0	+	+	+
   $h(x)$	+	0	−	n. d.	+	0	−

5. Lösungsmenge ablesen

   Gesucht sind alle x, für die h(x) positiv (+) ist. Stellen mit „n. d.“ gehören nie dazu. Die Nullstellen gehören nicht dazu (echtes Ungleichheitszeichen).

   \[\mathbb{L} = \left]-\infty;\ -1\right[ \cup \left]0;\ 1\right[\]

Lösungsmenge am Zahlenstrahl

Graph von h(x)

h(x) ist die linke minus die rechte Seite. Grün: die x-Werte der Lösungsmenge – dort liegt der Graph oberhalb der x-Achse.

So rechnet der Rechner

1. Definitionsmenge: Steht $x$ in einem Nenner, sind die Nullstellen des Nenners verboten. Sie gehören nie zur Lösungsmenge.
2. Auf eine Seite bringen: Aus $L \lessgtr R$ wird $L - R \lessgtr 0$. Brüche werden auf einen Bruchstrich gebracht – so steht links ein einziger Term $h(x)$, der mit $0$ verglichen wird. Mit dem Nenner wird nicht malgenommen, denn sein Vorzeichen ist unbekannt.
3. Faktorisieren: Zähler und Nenner werden in Faktoren zerlegt. Ihre Nullstellen sind die kritischen Stellen – nur dort kann $h(x)$ das Vorzeichen wechseln.
4. Vorzeichentabelle: Zwischen den kritischen Stellen hat jeder Faktor ein festes Vorzeichen. Aus den Vorzeichen der Faktoren ergibt sich das Vorzeichen von $h(x)$.
5. Ablesen: Gesucht sind die Bereiche mit dem passenden Vorzeichen. Bei $\leq$ und $\geq$ kommen die Nullstellen des Zählers dazu – Nennernullstellen nie.

Faktorisieren und exakte Nullstellen berechnet das Computeralgebrasystem Maxima. Lassen sich Nullstellen nicht exakt angeben (etwa bei manchen Gleichungen dritten Grades), rechnet der Rechner mit gerundeten Werten und kennzeichnet sie mit $\approx$. Zur Kontrolle prüft er das Ergebnis an vielen Testzahlen.

Intervallschreibweise kurz erklärt

Statt nach außen gedrehter eckiger Klammern sind auch runde Klammern üblich: $(-1;\ 3)$ bedeutet dasselbe wie $\left]-1;\ 3\right[$.

Ausführlich erklärt mit Beispielen und Übungen: lineare Ungleichungen, quadratische Ungleichungen und Bruchungleichungen. Ungleichungen mit Betrag findest Du bei den Betragsungleichungen, Gleichungen mit $x$ im Nenner löst der Bruchgleichungs-Rechner.

Passt dazu