Kl. 12 Kl. 13

Ebenenscharen und Geradenscharen

In vielen Abituraufgaben steht in der Ebenengleichung ein Buchstabe, zum Beispiel $a$. Für jede Zahl, die Du für $a$ einsetzt, entsteht eine andere Ebene – zusammen bilden sie eine Ebenenschar. Gefragt ist dann meist: Für welches $a$ hat die Ebene eine bestimmte Eigenschaft?

Was ist eine Schar?

Ebenenschar

Eine Gleichung mit einem Parameter $a$, zum Beispiel $E_a:\ a\,x_1 + x_2 + x_3 = 4$, beschreibt für jedes $a \in \mathbb{R}$ eine Ebene. Der Parameter steckt im Normalenvektor $\vec{n}_a = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, auf der rechten Seite oder an beiden Stellen.

Genauso gibt es Geradenscharen, etwa $g_a:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ – hier ändert $a$ die Richtung.

Zieh den Regler: Alle Ebenen der Schar $a\,x_1 + x_2 + x_3 = 4$ drehen sich um dieselbe rote Gerade. Nur der Spurpunkt auf der $x_1$-Achse wandert.

Ebene $E_2:\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4$, Spurpunkt $S_1(2 \mid 0 \mid 0)$

Alle Ebenen $E_a:\ a\,x_1 + x_2 + x_3 = 4$ enthalten die rote Trägergerade durch $S_2(0 \mid 4 \mid 0)$ und $S_3(0 \mid 0 \mid 4)$. Mit dem Regler drehst Du die Ebene um diese Gerade.

So bestimmst Du den Parameter

Fast jede Frage führt auf eine Gleichung für $a$. Du setzt die Bedingung mit den bekannten Werkzeugen an – nur dass im Normalenvektor oder Richtungsvektor noch $a$ steht:

Bedingung	Ansatz
Punkt P liegt in $E_a$	P einsetzen, nach $a$ auflösen
$E_a$ parallel zur Geraden $h$ (Richtung $\vec{v}$)	$\vec{n}_a \cdot \vec{v} = 0$ (und Stützpunkt von h nicht in $E_a$)
$E_a$ senkrecht zur Ebene $F$	$\vec{n}_a \cdot \vec{n}_F = 0$
$E_a$ parallel zur $x_k$-Achse	$k$-te Koordinate von $\vec{n}_a$ gleich 0
$E_a$ parallel zur Ebene $F$	$\vec{n}_a$ ist ein Vielfaches von $\vec{n}_F$
$g_a$ parallel zur Ebene $E$	$\vec{n}_E \cdot \vec{u}_a = 0$
$E_a$ hat von P den Abstand d	Hessesche Normalform: $\frac{\|\vec{n}_a \cdot \vec{p} - c_a\|}{\|\vec{n}_a\|} = d$ (oft quadratisch)

Beispiel 1: E_a: (2 + a)x₁ − x₂ + a·x₃ = 5 und P(1 | 3 | 2)

Einsetzen: $(2 + a) \cdot 1 - 3 + a \cdot 2 = 5 \ \Leftrightarrow\ 3a - 1 = 5 \ \Leftrightarrow\ a = 2$. Also liegt P in der Ebene $E_2:\ 4x_1 - x_2 + 2x_3 = 5$.

Beispiel 2: Für welches a ist E_a senkrecht zu F: x₁ + 2x₂ − x₃ = 7?

$\vec{n}_a \cdot \vec{n}_F = (2 + a) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + a \cdot (-1) = 2 + a - 2 - a = 0$ – das gilt für jedes $a$. Alle Ebenen dieser Schar stehen senkrecht auf F. Auch so ein Ergebnis kann herauskommen; ergibt sich dagegen ein Widerspruch wie $3 = 0$, gibt es kein passendes $a$.

Die Trägergerade

Steht $a$ linear in der Gleichung, kannst Du sie nach $a$ ordnen: $E_a:\ \vec{n}_0 \cdot \vec{x} - c_0 + a \cdot (\vec{n}_1 \cdot \vec{x} - c_1) = 0$. Liegt ein Punkt in beiden Ebenen $E_0: \vec{n}_0 \cdot \vec{x} = c_0$ und $E^*: \vec{n}_1 \cdot \vec{x} = c_1$, dann erfüllt er die Gleichung für jedes $a$.

Merke

Sind $\vec{n}_0$ und $\vec{n}_1$ keine Vielfachen voneinander, enthalten alle Ebenen der Schar die gemeinsame Gerade $E_0 \cap E^*$. Sie heißt Trägergerade. Ihre Richtung ist $\vec{n}_0 \times \vec{n}_1$. Die Ebenen „drehen“ sich um diese Gerade – nur $E^*$ selbst gehört nicht zur Schar.

Beispiel 3: E_a: (2 + a)x₁ − x₂ + a·x₃ = 5

Nach $a$ ordnen: $(2x_1 - x_2 - 5) + a \cdot (x_1 + x_3) = 0$. Also $E_0:\ 2x_1 - x_2 = 5$ und $E^*:\ x_1 + x_3 = 0$.

Richtung: $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Ein gemeinsamer Punkt: Mit $x_1 = 0$ folgt $x_3 = 0$ und $x_2 = -5$, also $P(0 \mid -5 \mid 0)$.

Trägergerade $g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Probe mit $P$ in $E_a$: $0 + 5 + 0 = 5$ ✓ für jedes $a$.

Geradenscharen

Bei einer Geradenschar ändert der Parameter meist den Richtungsvektor (die Geraden gehen dann alle durch den Stützpunkt) oder den Stützpunkt (die Geraden sind dann parallel).

Beispiel 4: g_a: x = (1 | 0 | 2) + t·(a | 2 | −1) und E: 3x₁ + x₂ + 4x₃ = 1

Parallel zu E heißt: Der Richtungsvektor steht senkrecht auf dem Normalenvektor. $3a + 2 - 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$. Der Stützpunkt liegt nicht in E ($3 + 0 + 8 = 11 \ne 1$), also ist $g_{2/3}$ echt parallel zu E.

Typische Fehler

Beim Einsetzen vergessen, dass $a$ mit der Koordinate multipliziert wird: $(2 + a)x_1$ mit $x_1 = 3$ ist $6 + 3a$.
„Parallel zur Geraden“ mit „senkrecht zur Geraden“ verwechseln: parallel heißt $\vec{n}_a \perp \vec{v}$, also Skalarprodukt 0.
Bei „parallel“ nicht prüfen, ob die Gerade sogar in der Ebene liegt.
Die Ebene $E^*$ (nur die Terme mit $a$) für eine Ebene der Schar halten – sie entsteht für kein $a$.

Online üben

Stufe 1: Punkt in der Ebene, Spurpunkte. Stufe 2: parallel und senkrecht. Stufe 3: Trägergerade und senkrechte Scharebene.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 3: Trägergerade, senkrechte Scharebene

Aufgabe 1
$E_a:\ (1 + a)x_1 + (-1 + a)x_2 + (-1 + a)x_3$ $= 1 - 3a:$ Trägergerade g (gemeinsame Gerade aller Ebenen)?

$g:\ \vec{x} = (-1 \mid -1 \mid -1) + t \cdot (0 \mid 1 \mid -1)$
Aufgabe 2
$E_a:\ ax_1 + (1 - 2a)x_2 + 2ax_3$ $= -3 + 5a:$ Für welches a ist $E_a \perp E_0?$

$a =$

$\vec{n}_a \cdot \vec{n}_0 = 1 - 2a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
Aufgabe 3
$E_a:\ (-1 + a)x_1 + (2 + a)x_2 + (-1 + a)x_3$ $= 5 + a:$ Trägergerade g (gemeinsame Gerade aller Ebenen)?

$g:\ \vec{x} = (-3 \mid 2 \mid 2) + t \cdot (-1 \mid 0 \mid 1)$
Aufgabe 4
$E_a:\ (-1 + a)x_1 + (-2 + a)x_2 + (1 + a)x_3$ $= -1 - 2a:$ Trägergerade g (gemeinsame Gerade aller Ebenen)?

$g:\ \vec{x} = (-2 \mid 1 \mid -1) + t \cdot (3 \mid -2 \mid -1)$
Aufgabe 5
$E_a:\ (1 + 3a)x_1 + (2 - 2a)x_2 + (1 - a)x_3$ $= -2 + 2a:$ Trägergerade g (gemeinsame Gerade aller Ebenen)?

$g:\ \vec{x} = (0 \mid -1 \mid 0) + t \cdot (0 \mid 1 \mid -2)$
Aufgabe 6
$E_a:\ (1 - a)x_1 + (1 + 3a)x_2 + (-1 + 3a)x_3$ $= 4 + 8a:$ Trägergerade g (gemeinsame Gerade aller Ebenen)?

$g:\ \vec{x} = (1 \mid 3 \mid 0) + t \cdot (3 \mid -1 \mid 2)$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Ebenenscharen und Geradenscharen

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.

Weitere Aufgaben zu „parallel zu einer Ebene“, „senkrecht zu einer Geraden“, „Gerade liegt in der Ebene“ und zum Abstand: das Blatt unten. Eigene Scharen rechnet der Ebenenschar-Rechner mit Rechenweg durch – auch die Trägergerade.

Arbeitsblatt: Ebenenscharen: parallel, senkrecht, Abstand