Zwei Lösungswege im Vergleich
Viele Aufgaben der analytischen Geometrie lassen sich auf mehr als eine Art lösen. Hier stehen jeweils zwei übliche Wege nebeneinander. Klick Dich mit „Weiter“ durch – beide Spalten gehen Schritt für Schritt mit. Mit „Andere Zahlen“ bekommst Du eine neue Aufgabe derselben Art.
Welchen Weg nehmen?
Ist nur nach dem Abstand gefragt, ist der Weg mit einer Formel (Hessesche Normalform) meist kürzer. Sollst Du zusätzlich den Punkt mit dem kleinsten Abstand angeben (Lotfußpunkt) oder einen Punkt spiegeln, ist der Weg über Lotgerade oder laufende Punkte die bessere Wahl – Du brauchst ihn dann ohnehin.
Auf dieser Seite: windschiefe Geraden · Punkt–Ebene · Punkt–Gerade · Spiegelung an einer Ebene · Schnittwinkel Gerade–Ebene
Abstand windschiefer Geraden
Aufgabe
Bestimme den Abstand der windschiefen Geraden $g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $h:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Weg 1: Hilfsebene und Hessesche Normalform
Ein Normalenvektor, der auf beiden Richtungen senkrecht steht, ist das Kreuzprodukt:
\[\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\]Die Hilfsebene H enthält g und ist parallel zu h. Sie geht durch den Stützpunkt P von g:
\[H:\ 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 6\]Hessesche Normalform: durch die Länge des Normalenvektors teilen.
\[|\vec{n}| = \sqrt{49} = 7\]\[H:\ \frac{3x_1 + 2x_2 + 6x_3 - 6}{7} = 0\]Jeder Punkt von h hat von H denselben Abstand – setze den Stützpunkt R von h ein:
\[d = \frac{|55 - 6|}{7} = 7\]
Ergebnis: \(d = 7\)
Weg 2: laufende Punkte und Lotfußpunkte
Nimm auf beiden Geraden einen beliebigen Punkt: $G_s = P + s \cdot \vec{u}$ und $H_t = R + t \cdot \vec{v}$. Der Verbindungsvektor ist:
\[\vec{G_sH_t} = \begin{pmatrix} 3 - 2t + 2s \\ -1 - 3t \\ 7 + 2t - s \end{pmatrix}\]Für das gemeinsame Lot steht er auf beiden Richtungsvektoren senkrecht – zwei Gleichungen für s und t:
\[\vec{G_sH_t} \cdot \vec{u} = 0:\quad 5s - 6t = 1\]\[\vec{G_sH_t} \cdot \vec{v} = 0:\quad 6s - 17t = 11\]Das Gleichungssystem lösen und einsetzen ergibt die Lotfußpunkte:
\[s = -1,\quad t = -1\]\[F_g(4 \mid -3 \mid 0),\quad F_h(7 \mid -1 \mid 6)\]Der Abstand ist die Länge des Lots:
\[d = |\vec{F_gF_h}| = \left|\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{49} = 7\]
Ergebnis: \(d = 7\)
Weg 1 ist kürzer, wenn nur der Abstand gefragt ist. Weg 2 liefert zusätzlich die Lotfußpunkte – das brauchst Du, wenn nach den Punkten mit dem kleinsten Abstand gefragt wird.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Aufgabe
Bestimme den Abstand des Punktes $Q(5 \mid -3 \mid 2)$ von der Ebene $E:\ 7x_1 - 4x_2 + 4x_3 = -26$.
Weg 1: Hessesche Normalform
Normalenvektor ablesen und seine Länge berechnen:
\[\vec{n} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix},\quad |\vec{n}| = \sqrt{81} = 9\]Hessesche Normalform: Gleichung durch $|\vec{n}|$ teilen.
\[E:\ \frac{7x_1 - 4x_2 + 4x_3 + 26}{9} = 0\]Q einsetzen und den Betrag nehmen:
\[d = \frac{|55 - \left(-26\right)|}{9} = \frac{81}{9} = 9\]
Ergebnis: \(d = 9\)
Weg 2: Lotgerade und Lotfußpunkt
Die Lotgerade geht durch Q und hat den Normalenvektor als Richtung:
\[l:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\]Setze l in die Ebenengleichung ein:
\[55 + 81\lambda = -26 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -1\]λ in l einsetzen ergibt den Lotfußpunkt F:
\[F(-2 \mid 1 \mid -2)\]Der Abstand ist die Länge von QF:
\[d = |\vec{QF}| = |\lambda| \cdot |\vec{n}| = 1 \cdot 9 = 9\]
Ergebnis: \(d = 9\)
Weg 1 geht am schnellsten. Weg 2 brauchst Du, wenn auch der Lotfußpunkt oder der Spiegelpunkt von Q gefragt ist (Spiegelpunkt: λ verdoppeln).
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Aufgabe
Bestimme den Abstand des Punktes $Q(11 \mid 2 \mid 0)$ von der Geraden $g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Weg 1: laufender Punkt und Skalarprodukt
Jeder Punkt der Geraden hat die Form $F_t = P + t \cdot \vec{u}$. Der Vektor von Q zu diesem Punkt ist:
\[\vec{QF_t} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 + t \\ 1 \\ 2t \end{pmatrix}\]Im Lotfußpunkt steht dieser Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor – das Skalarprodukt ist 0:
\[\vec{QF_t} \cdot \vec{u} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad 5t - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 2\]Setze t in die Geradengleichung ein:
\[F = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad F(3 \mid 3 \mid 4)\]Der Abstand ist die Länge von QF:
\[d = |\vec{QF}| = \left|\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{81} = 9\]
Ergebnis: \(d = 9\)
Weg 2: Hilfsebene senkrecht zu g
Die Hilfsebene H geht durch Q und steht senkrecht auf g – ihr Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g:
\[H:\ x_1 + 2x_3 = 11\]Setze g in H ein, um den Schnittpunkt F zu finden:
\[5t + 1 = 11 \quad\Rightarrow\quad t = 2\]t in g einsetzen:
\[F(3 \mid 3 \mid 4)\]Der Abstand ist die Länge von QF:
\[d = |\vec{QF}| = \sqrt{81} = 9\]
Ergebnis: \(d = 9\)
Beide Wege führen auf dieselbe Gleichung für t – Weg 2 ist nur anders gedacht. Ohne Lotfußpunkt geht es auch mit dem Kreuzprodukt: $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$.
Einen Punkt an einer Ebene spiegeln
Der Spiegelpunkt Q′ liegt auf der Lotgeraden durch Q – auf der anderen Seite der Ebene, gleich weit entfernt. Der Lotfußpunkt F ist die Mitte von Q und Q′.
Aufgabe
Spiegle den Punkt $Q(-4 \mid -7 \mid -1)$ an der Ebene $E:\ 4x_1 + 8x_2 + x_3 = 8$.
Weg 1: Lotgerade und doppeltes λ
Die Lotgerade durch Q steht senkrecht auf E – ihr Richtungsvektor ist der Normalenvektor:
\[l:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]Setze l in die Ebenengleichung ein:
\[-73 + 81\lambda = 8 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1\]Mit diesem λ erreichst Du den Lotfußpunkt F:
\[F(0 \mid 1 \mid 0)\]Der Spiegelpunkt liegt doppelt so weit von Q entfernt – setze $2\lambda = 2$ in l ein:
\[Q' = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Ergebnis: \(Q'(4 \mid 9 \mid 1)\)
Weg 2: Formel mit dem Abstand mit Vorzeichen
Setze Q in die linke Seite der Ebenengleichung ein und ziehe die rechte Seite ab:
\[\vec{n} \cdot \vec{q} - 8 = -73 - 8 = -81\]Teile durch $|\vec{n}|^2$. Das Ergebnis sagt, wie viele Normalenvektoren Q vom Fußpunkt entfernt ist (das Vorzeichen gibt die Seite an):
\[\frac{-81}{|\vec{n}|^2} = \frac{-81}{81} = -1\]Gehe von Q aus doppelt so weit gegen diese Richtung:
\[Q' = \vec{q} - 2 \cdot \frac{\vec{n} \cdot \vec{q} - c}{|\vec{n}|^2} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Ergebnis: \(Q'(4 \mid 9 \mid 1)\)
Weg 1 liefert unterwegs den Lotfußpunkt F – praktisch, wenn auch der Abstand gefragt ist ($d = |\lambda| \cdot |\vec{n}| = 9$). Weg 2 ist kürzer, wenn nur der Spiegelpunkt gesucht ist. Probe: Der Mittelpunkt von Q und Q′ ist F.
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Gemessen wird der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion in die Ebene. Er liegt zwischen 0° und 90°. Weil die Formel den Normalenvektor benutzt, steht dort der Sinus und nicht der Kosinus.
Aufgabe
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade $g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ die Ebene $E:\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 = -7$?
Weg 1: Sinus-Formel
Lies den Richtungsvektor von g und den Normalenvektor von E ab:
\[\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]Skalarprodukt und Längen:
\[\vec{u} \cdot \vec{n} = -11,\quad |\vec{u}| = \sqrt{10},\quad |\vec{n}| = \sqrt{14}\]Weil $\vec{n}$ senkrecht auf E steht, gehört zum Winkel zwischen Gerade und Ebene der Sinus:
\[\sin\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-11|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} \approx 0{,}9297\]Mit der Umkehrfunktion:
\[\varphi = \sin^{-1}(0{,}9297) \approx 68{,}38^\circ\]
Ergebnis: \(\varphi \approx 68{,}38^\circ\)
Weg 2: erst der Winkel zum Normalenvektor
Berechne den Winkel ψ zwischen $\vec{u}$ und $\vec{n}$ mit der Kosinus-Formel für zwei Vektoren:
\[\cos\psi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-11|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} \approx 0{,}9297\]Also:
\[\psi = \cos^{-1}(0{,}9297) \approx 21{,}62^\circ\]Der Normalenvektor steht senkrecht auf E. Die Winkel ψ (zur Senkrechten) und φ (zur Ebene) ergänzen sich zu 90°:
\[\varphi = 90^\circ - \psi \approx 90^\circ - 21{,}62^\circ = 68{,}38^\circ\]
Ergebnis: \(\varphi \approx 68{,}38^\circ\)
Beide Wege rechnen mit demselben Bruch – Weg 1 spart den Umweg über ψ, weil $\sin\varphi = \cos(90^\circ - \varphi)$ ist. Den Stützpunkt der Geraden und die rechte Seite der Ebenengleichung brauchst Du für den Winkel nicht. Ist $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, ist die Gerade parallel zur Ebene (oder liegt in ihr).
Die Formeln auf einen Blick
- Punkt–Ebene: $d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{q} - c|}{|\vec{n}|}$ bei $E:\ \vec{n} \cdot \vec{x} = c$.
- Punkt–Gerade: $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ bei $g:\ \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$.
- Windschiefe Geraden: $d = \frac{|\vec{PR} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$.
- Spiegelung an E: $\vec{q}\,' = \vec{q} - 2 \cdot \frac{\vec{n} \cdot \vec{q} - c}{|\vec{n}|^2} \cdot \vec{n}$.
- Gerade–Ebene: $\sin\varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$; zwei Ebenen oder zwei Geraden: dieselbe Formel mit $\cos$.
Die Formeln sind schnell, zeigen aber keinen Lotfußpunkt. In vielen Bundesländern wird im Abitur ein Weg mit Begründung erwartet – schreib also kurz dazu, was Du tust.
Typische Fehler
- In der Hesseschen Normalform den Betrag vergessen – ein Abstand ist nie negativ.
- Bei der Hilfsebene für windschiefe Geraden einen falschen Normalenvektor nehmen: Er muss auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen.
- Beim Weg mit laufenden Punkten nur eine der beiden Bedingungen aufstellen – es sind zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.
- Den Lotfußpunkt ausrechnen, aber den Abstand $|\vec{QF}|$ nicht mehr bestimmen.
- Beim Spiegeln nur bis zum Lotfußpunkt gehen (einfaches statt doppeltes λ).
- Beim Winkel zwischen Gerade und Ebene den Kosinus nehmen – das liefert den Winkel zum Normalenvektor, also $90^\circ - \varphi$.
Online üben
Abstände kannst Du auf der Seite Abstände und Winkel üben – dort gibt es auch Lotfußpunkte und Winkel. Spiegelungen findest Du unter Spiegelungen und Spurpunkte. Eigene Zahlen rechnet der Analytische-Geometrie-Rechner mit Rechenweg.
Stufe 1: Abstand Punkt–Gerade
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Aufgabe 1
\(Q(-3 \mid -8 \mid -2),\) \(g:\ \vec{x} = (0 \mid -4 \mid -4) + t \cdot (0 \mid 0 \mid 1)\)\(d =\)\(F(0 \mid -4 \mid -2),\quad d = 5\)
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Aufgabe 2
\(Q(5 \mid -10 \mid -1),\) \(g:\ \vec{x} = (3 \mid 1 \mid 3) + t \cdot (-3 \mid 4 \mid 2)\)\(d =\)\(F(9 \mid -7 \mid -1),\quad d = 5\)
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Aufgabe 3
\(Q(-6 \mid 0 \mid 5),\) \(g:\ \vec{x} = (-4 \mid -3 \mid 3) + t \cdot (1 \mid 0 \mid -1)\)\(d =\)\(F(-6 \mid -3 \mid 5),\quad d = 3\)
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Aufgabe 4
\(Q(7 \mid -3 \mid 3),\) \(g:\ \vec{x} = (0 \mid 3 \mid 1) + t \cdot (0 \mid -1 \mid -1)\)\(d =\)\(F(0 \mid 1 \mid -1),\quad d = 9\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Abstände im Raum: Punkt–Gerade und zwei Geraden
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 12–13.
Weiterlesen: Hessesche Normalform, Gemeinlot bei Wikipedia