Barwert und Endwert: Zahlungen fair vergleichen
1.000 € heute sind mehr wert als 1.000 € in drei Jahren – denn wer das Geld heute hat, kann es anlegen und Zinsen bekommen. Deshalb darf man Beträge, die zu verschiedenen Zeitpunkten fließen, nicht einfach addieren oder vergleichen. Erst muss man sie mit dem Zins auf einen gemeinsamen Zeitpunkt umrechnen: vorwärts durch Aufzinsen, rückwärts durch Abzinsen.
Aufzinsen: der Endwert
Bei Zinseszins wächst ein Betrag in jedem Jahr um den Faktor $q = 1 + \frac{p}{100}$. Nach $n$ Jahren ist aus dem Anfangsbetrag $K_0$ der Endwert geworden:
$q^n$ heißt Aufzinsungsfaktor. Beispiel: 5.000 € für 10 Jahre zu 2,5 % ergeben $5{.}000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 6{.}400{,}42\,€$. Mehr dazu steht beim Zinseszins.
Abzinsen: der Barwert
Umgekehrt fragt man oft: Wie viel ist eine spätere Zahlung heute wert? Das ist der Betrag, den man heute anlegen müsste, um später genau diese Zahlung zu haben – der Barwert (auch Gegenwartswert):
$q^{-n}$ heißt Abzinsungsfaktor. Beispiel: Eine Versicherung zahlt in 6 Jahren 15.000 € aus. Bei 3,5 % ist das heute $15{.}000 \cdot 1{,}035^{-6} \approx 15{.}000 \cdot 0{,}8135 \approx 12{.}202{,}51\,€$ wert.
| Jahre $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Abzinsungsfaktor bei 3 % | 0,970874 | 0,942596 | 0,915142 | 0,888487 | 0,862609 |
| Abzinsungsfaktor bei 5 % | 0,952381 | 0,907029 | 0,863838 | 0,822702 | 0,783526 |
Je höher der Zins und je später die Zahlung, desto kleiner ihr Barwert.
Zwei Angebote vergleichen
Eine Mitarbeiterin darf bei ihrer Prämie wählen: A 12.000 € sofort oder B 4.000 € sofort und je 4.500 € nach einem und nach zwei Jahren. In Summe bringt B 13.000 €. Aber ist B auch mehr wert? Mit 4 % Zins zinsen wir alle Zahlungen auf heute ab:
Der Barwert von B ist 12.487,43 € und damit größer als die 12.000 € von A. Wer Geld bekommt, wählt den größeren Barwert – hier B. Wer zahlt (zum Beispiel Sofortkauf gegen Ratenkauf), wählt den kleineren.
Der Stichtag ist egal. Rechnet man beide Angebote auf das Ende von Jahr 2 auf, ergeben sich 12.979,20 € (A) und 13.506,40 € (B). Beide Werte sind mit demselben Faktor $1{,}04^2$ gewachsen, die Entscheidung bleibt gleich. Man nennt das Äquivalenzprinzip: Zahlungsreihen mit gleichem Wert an einem Stichtag sind an jedem Stichtag gleich viel wert.
Ersatzzahlung und gleich hohe Raten
Mit dem Äquivalenzprinzip lassen sich Zahlungen umplanen. Sollen etwa 3.000 € nach einem Jahr und 5.000 € nach vier Jahren durch eine einzige Zahlung nach zwei Jahren ersetzt werden, bezieht man alles auf das Jahr 2: die frühere Zahlung aufzinsen, die spätere abzinsen. Bei 4 %:
Genauso findet man gleich hohe Raten, die eine Schuld ersetzen: Barwert der Schuld = Rate · Summe der Abzinsungsfaktoren aller Zahlungstermine. Für viele gleiche Raten gibt es dafür eigene Formeln in der Rentenrechnung.
Eigene Zahlungsreihen vergleicht der Barwert-Rechner. Für Investitionen mit Auszahlungen und Rückflüssen steht die Methode bei der Investitionsrechnung (Kapitalwert).
Übung: Barwert und Vergleich
Stufe 3: Ersatzzahlung und Raten
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Aufgabe 1
Eine Schuld von 27.500,00 €, fällig in 4 Jahren, soll durch 3 gleich hohe Zahlungen beglichen werden: heute und dann jährlich. Wie hoch ist jede Zahlung bei 1,5 % Zins?€Barwert der Schuld: 27.500,00 € : 1,015^4 ≈ 25.910,07 €
Barwert der Raten: R · (1 + 1/1,015 + … ) = R · 2,955883
R ≈ 8.765,59 € -
Aufgabe 2
Statt 13.250,00 € in 2 Jahren und 12.750,00 € in 5 Jahren soll eine einzige, gleichwertige Zahlung in 3 Jahren geleistet werden. Wie hoch muss sie bei 6 % Zins sein?€Alle Zahlungen auf das Jahr 3 beziehen:
13.250,00 € · 1,06^1 + 12.750,00 € · 1,06^-2 ≈ 25.392,45 € -
Aufgabe 3
Statt 4.000,00 € in 2 Jahren und 5.750,00 € in 6 Jahren soll eine einzige, gleichwertige Zahlung in 4 Jahren geleistet werden. Wie hoch muss sie bei 3 % Zins sein?€Alle Zahlungen auf das Jahr 4 beziehen:
4.000,00 € · 1,03^2 + 5.750,00 € · 1,03^-2 ≈ 9.663,53 € -
Aufgabe 4
Eine Schuld von 31.500,00 €, fällig in 4 Jahren, soll durch 4 gleich hohe Zahlungen beglichen werden: heute und dann jährlich. Wie hoch ist jede Zahlung bei 1,5 % Zins?€Barwert der Schuld: 31.500,00 € : 1,015^4 ≈ 29.678,80 €
Barwert der Raten: R · (1 + 1/1,015 + … ) = R · 3,9122
R ≈ 7.586,22 €
Tippe nur die Zahl ein – die Einheit steht schon daneben. Dezimalzahlen mit Komma (2,5), Zeiten als 2 h 15 min, Uhrzeiten als 14:35. Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp. Deine Punkte siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Barwert und Zahlungen vergleichen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Weiter geht’s
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- Effektivzins – der Zins, bei dem Barwert und Auszahlung gleich sind
- Inflation und Realzins – Geldwert über die Zeit
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