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Effektivzins

Zwei Banken werben mit „4,5 % Zinsen“ – und trotzdem ist der eine Kredit deutlich teurer. Der Grund: Der genannte Zins (Nominalzins oder Sollzins) sagt nicht, wie oft verzinst wird, und er enthält keine Abschläge oder Gebühren. Der effektive Jahreszins rechnet all das in einen einzigen, vergleichbaren Prozentsatz pro Jahr um.

Die Beispiele sind vereinfachte Modelle zum Verstehen der Mathematik – keine Finanzberatung und kein Ersatz für ein Kreditangebot.

Nominalzins und Effektivzins

Werden Zinsen mehrmals im Jahr gutgeschrieben, werden die schon gutgeschriebenen Zinsen mitverzinst – es entsteht Zinseszins schon innerhalb eines Jahres. Üblich ist, den Nominalzins $p$ gleichmäßig auf die $m$ Zinsperioden aufzuteilen.

Merke

Bei $m$ Zinsperioden pro Jahr mit dem Periodenzins $\frac{p}{100\,m}$ gilt:

\[p_{\text{eff}} = \left(\left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m} - 1\right) \cdot 100\,\%\]

Für $m = 1$ (jährlich) sind Nominal- und Effektivzins gleich, für $m > 1$ ist der Effektivzins größer.

Beispiel: 6 % nominal, monatlich gutgeschrieben

Monatszins: $\frac{6}{1200} = 0{,}005$. Nach 12 Monaten ist das Kapital auf das $1{,}005^{12} \approx 1{,}061678$-Fache gewachsen, also $p_{\text{eff}} \approx 6{,}17\,\%$. Aus 5.000 € werden in einem Jahr 5.308,39 € statt 5.300 €.

Verzinsung bei 6 % nominal	effektiver Jahreszins
jährlich	6 %
halbjährlich	6,09 %
vierteljährlich	6,1364 %
monatlich	6,1678 %
täglich	6,1831 %
stetig	6,1837 %

Stetige Verzinsung

Je öfter verzinst wird, desto größer wird der Effektivzins – aber nicht beliebig groß. Lässt man die Zahl der Zinsperioden immer weiter wachsen, nähert sich $\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$ der Zahl $e^{i}$ (e-Funktion). Man spricht dann von stetiger Verzinsung:

\[p_{\text{eff}} = \left(e^{\frac{p}{100}} - 1\right) \cdot 100\,\% \qquad K(t) = K_0 \cdot e^{\frac{p}{100} \cdot t}\]

Bei 6 % ergibt das 6,1837 % – nur wenig mehr als bei täglicher Verzinsung. Mehr zur stetigen Verzinsung steht auf der Seite Inflation, Realzins und stetige Verzinsung.

Rückwärts: Nominalzins aus dem Effektivzins

Soll ein Sparbuch mit monatlicher Gutschrift effektiv 4 % bringen, muss der Nominalzins etwas kleiner sein. Man zieht die $m$-te Wurzel:

\[p = m \cdot \left(\left(1 + \frac{p_{\text{eff}}}{100}\right)^{1/m} - 1\right) \cdot 100\,\% \quad\Rightarrow\quad p = 12 \cdot \left(1{,}04^{1/12} - 1\right) \cdot 100\,\% \approx 3{,}9285\,\%\]

Kredite: Disagio und Gebühren

Bei Krediten kommt etwas hinzu: Manchmal wird nicht der volle Kreditbetrag ausgezahlt. Ein Disagio (Abschlag) von $d$ % behält die Bank gleich zu Beginn ein, Bearbeitungsgebühren ebenso. Zinsen und Rückzahlung beziehen sich aber auf den vollen Betrag. Effektiv leihst Du also weniger Geld zum selben Preis.

Merke: Ansatz für den Effektivzins

Der effektive Jahreszins $i_{\text{eff}}$ ist der Zinssatz, bei dem der heutige Wert aller Zahlungen an die Bank genau dem ausgezahlten Betrag entspricht. Eine Zahlung $Z$ nach $t$ Jahren hat heute den Wert $\frac{Z}{(1 + i_{\text{eff}})^t}$:

\[\text{Auszahlung} = \frac{Z_1}{(1 + i_{\text{eff}})^{t_1}} + \frac{Z_2}{(1 + i_{\text{eff}})^{t_2}} + \ldots\]

Nur bei sehr einfachen Krediten lässt sich das direkt nach $i_{\text{eff}}$ auflösen. Sonst probiert man Zinssätze aus und nähert sich der Lösung (Interpolation, Intervallhalbierung).

Beispiel 1: ein Jahr, Rückzahlung am Ende

Kredit 8.000 € für ein Jahr zu 5 % Sollzins, Disagio 2 %. Ausgezahlt werden $8.000\,\text{€} \cdot 0{,}98 = 7.840\,\text{€}$, zurückgezahlt nach einem Jahr $8.000\,\text{€} \cdot 1{,}05 = 8.400\,\text{€}$.

\[7.840 = \frac{8.400}{1 + i_{\text{eff}}} \quad\Rightarrow\quad i_{\text{eff}} = \frac{8.400}{7.840} - 1 \approx 0{,}0714 = 7{,}14\,\%\]

Aus 5 % Sollzins werden durch das Disagio effektiv gut 7 %.

Beispiel 2: Annuitätendarlehen über 3 Jahre

Kredit 12.000 €, Sollzins 4,5 %, drei gleiche Jahresraten, Disagio 3 % und 150 € Gebühr. Die Rate wird mit dem Sollzins auf die vollen 12.000 € berechnet: $A \approx 4.365{,}28\,\text{€}$. Ausgezahlt werden nur $12.000 \cdot 0{,}97 - 150 = 11.490{,}00$ €.

Ansatz: $11.490{,}00 = \frac{A}{1 + i} + \frac{A}{(1 + i)^2} + \frac{A}{(1 + i)^3}$. Probieren: Bei 7 % ist die rechte Seite 11.455,88 € (zu groß), bei 8 % 11.249,75 € (zu klein). Die Lösung liegt dazwischen; genauer gerechnet ist $p_{\text{eff}} \approx 6{,}84\,\%$.

Tipp: Faustformel für endfällige Kredite

Wird das Disagio auf die Laufzeit $n$ verteilt, erhältst Du eine grobe Schätzung: $p_{\text{eff}} \approx p + \frac{d}{n}$. Bei 4 % Sollzins, 5 % Disagio und 10 Jahren also etwa 4,5 %. Genauer (siehe Rechner) sind es 4,64 %.

Typische Fehler

Den Effektivzins mit $p \cdot m$ statt mit Zinseszins berechnen – bei monatlicher Verzinsung wird mitverzinst.
Disagio und Gebühren vom Zins abziehen statt vom ausgezahlten Betrag.
Die Rate auf den ausgezahlten statt auf den vollen Kreditbetrag beziehen.
Glauben, ein Disagio sei „ohne Zinsen“: Es macht den Kredit effektiv teurer.

In Deutschland müssen Kreditgeber bei Verbraucherkrediten den effektiven Jahreszins angeben; die genaue Berechnung regelt die Preisangabenverordnung (mit tagesgenauen Zahlungsterminen). Das Prinzip ist dasselbe wie hier.

Zwei Kreditangebote nebeneinander – mit Rate, Gesamtkosten und Effektivzins – oder Leasing gegen einen Kauf auf Kredit rechnet der Kreditvergleich-Rechner durch.

Online üben

Du brauchst einen Taschenrechner mit Potenz- und e-Taste. Prozentsätze auf zwei Nachkommastellen.

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 1: unterjährige Verzinsung

Aufgabe 1
$p = 2\,\%$ nominal, halbjährlich verzinst: effektiver Jahreszins

$p_{\text{eff}} =$%

$p_{\text{eff}} = \left(\left(1 + \frac{2}{100 \cdot 2}\right)^{2} - 1\right) \cdot 100\,\%$ $= 2{,}01\,\%$
Aufgabe 2
$p = 7\,\%$ nominal, halbjährlich verzinst: effektiver Jahreszins

$p_{\text{eff}} =$%

$p_{\text{eff}} = \left(\left(1 + \frac{7}{100 \cdot 2}\right)^{2} - 1\right) \cdot 100\,\%$ $\approx 7{,}12\,\%$
Aufgabe 3
$p = 3{,}5\,\%$ nominal, vierteljährlich verzinst: effektiver Jahreszins

$p_{\text{eff}} =$%

$p_{\text{eff}} = \left(\left(1 + \frac{3{,}5}{100 \cdot 4}\right)^{4} - 1\right) \cdot 100\,\%$ $\approx 3{,}55\,\%$
Aufgabe 4
$p = 1{,}5\,\%$ nominal, monatlich verzinst: effektiver Jahreszins

$p_{\text{eff}} =$%

$p_{\text{eff}} = \left(\left(1 + \frac{1{,}5}{100 \cdot 12}\right)^{12} - 1\right) \cdot 100\,\%$ $\approx 1{,}51\,\%$

Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.

Arbeitsblatt: Effektivzins – unterjährig, stetig, mit Disagio

Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.

Üben: Kredite vergleichen

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Neue Aufgaben

Stufe 2: zwei Angebote vergleichen

Aufgabe 1
$S = 15.000$ €, jährliche Raten. A: $8\,\%,$ $3$ Jahre; B: $4\,\%,$ $6$ Jahre. Zinskosten?

$K_A; K_B$

$R_A = 5.820{,}50\,\text{€},$ $K_A = 3 \cdot 5.820{,}50 - 15.000$ $= 2.461{,}50\,\text{€};$ $R_B = 2.861{,}43\,\text{€},$ $K_B = 2.168{,}58\,\text{€}$ $\Rightarrow$ B kostet weniger Zinsen
Aufgabe 2
$S = 50.000$ €, jährliche Raten. A: $6{,}5\,\%,$ $6$ Jahre; B: $4{,}5\,\%,$ $8$ Jahre. Zinskosten?

$K_A; K_B$

$R_A = 10.328{,}42\,\text{€},$ $K_A = 6 \cdot 10.328{,}42 - 50.000$ $= 11.970{,}52\,\text{€};$ $R_B = 7.580{,}48\,\text{€},$ $K_B = 10.643{,}84\,\text{€}$ $\Rightarrow$ B kostet weniger Zinsen
Aufgabe 3
$S = 24.000$ €, jährliche Raten. A: $7\,\%,$ $4$ Jahre; B: $6\,\%,$ $8$ Jahre. Zinskosten?

$K_A; K_B$

$R_A = 7.085{,}47\,\text{€},$ $K_A = 4 \cdot 7.085{,}47 - 24.000$ $= 4.341{,}88\,\text{€};$ $R_B = 3.864{,}86\,\text{€},$ $K_B = 6.918{,}88\,\text{€}$ $\Rightarrow$ A kostet weniger Zinsen

Eigene Angebote vergleichst Du mit dem Effektivzins-Rechner. Wie Raten und Restschuld zusammenhängen, steht unter Tilgung und Tilgungsplan.

Weiterlesen: Effektiver Jahreszins, Disagio bei Wikipedia

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