Inflation, Realzins und stetige Verzinsung
Steigen die Preise, kann man sich für denselben Geldbetrag weniger kaufen – das Geld verliert an Kaufkraft. Mathematisch funktioniert Inflation wie der Zinseszins, nur dass hier die Preise wachsen. Wer Zinsen bekommt, muss deshalb fragen: Wie viel bleibt nach Abzug der Preissteigerung wirklich übrig?
Preissteigerung und Kaufkraft
Merke
Bei einer gleichbleibenden Inflationsrate von $\pi$ % pro Jahr steigen die Preise nach $n$ Jahren auf das $\left(1 + \frac{\pi}{100}\right)^n$-Fache. Ein fester Geldbetrag $K$ hat dann nur noch die Kaufkraft
– gemessen in Euro von heute.
Beispiel: 1.000 € im Sparschwein
Bei 2 % Inflation kostet ein Einkauf, der heute 1.000 € kostet, in 10 Jahren $1.000\,\text{€} \cdot 1{,}02^{10} \approx 1.218{,}99\,\text{€}$. Umgekehrt sind die 1.000 € im Sparschwein dann nur noch $\frac{1.000\,\text{€}}{1{,}02^{10}} \approx 820{,}35\,\text{€}$ heutiger Kaufkraft wert.
| Inflation | Kaufkraft von 1.000 € nach 10 Jahren | nach 20 Jahren | Kaufkraft halbiert nach |
|---|---|---|---|
| 1 % | 905,29 € | 819,54 € | 69,7 Jahre |
| 2 % | 820,35 € | 672,97 € | 35 Jahre |
| 3 % | 744,09 € | 553,68 € | 23,4 Jahre |
| 5 % | 613,91 € | 376,89 € | 14,2 Jahre |
| 8 % | 463,19 € | 214,55 € | 9 Jahre |
Die Halbierungszeit erhältst Du mit dem Logarithmus: $\left(1 + \frac{\pi}{100}\right)^n = 2 \Rightarrow n = \frac{\ln 2}{\ln\left(1 + \frac{\pi}{100}\right)}$.
Realzins
Bekommst Du auf Dein Erspartes $i$ % Zinsen, während die Preise um $\pi$ % steigen, wächst Deine Kaufkraft nur mit dem Realzins $r$. Man teilt den Wachstumsfaktor des Geldes durch den der Preise:
Beispiel: Tagesgeld mit 3 % bei 4 % Inflation
$1 + r = \frac{1{,}03}{1{,}04} \approx 0{,}99038$, also $r \approx -0{,}96\,\%$. Die Faustformel liefert $3\,\% - 4\,\% = -1\,\%$. Trotz Zinsen verliert das Geld real an Wert: Aus 10.000 € werden in 5 Jahren nominal 11.592,74 €, die aber nur noch 9.528,39 € heutiger Kaufkraft entsprechen.
Tipp: Wann reicht die Faustformel?
Die Differenz $i - \pi$ ist eine gute Schätzung, solange beide Sätze klein sind (wenige Prozent). Bei hoher Inflation wird sie ungenau: Bei 20 % Zinsen und 15 % Inflation ist der Realzins genau $\frac{1{,}20}{1{,}15} - 1 \approx 4{,}35\,\%$, nicht 5 %.
Stetige Verzinsung
Teilt man ein Jahr in immer mehr Zinsperioden, wächst das Kapital mit $\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m \cdot t}$. Für $m \to \infty$ geht dieser Ausdruck gegen $e^{i \cdot t}$ – die Zahl $e \approx 2{,}71828$ entsteht genau so. Das Modell der stetigen Verzinsung verwendet man in der Finanzmathematik und überall, wo etwas kontinuierlich wächst (Wachstum).
Merke
Beispiel: 2.000 € zu 4 % für 15 Jahre
| Verzinsung | Kapital nach 15 Jahren |
|---|---|
| jährlich | 3.601,89 € |
| vierteljährlich | 3.633,39 € |
| monatlich | 3.640,60 € |
| täglich | 3.644,12 € |
| stetig | 3.644,24 € |
Der Unterschied zwischen täglicher und stetiger Verzinsung ist winzig – stetig ist die obere Grenze. Verdopplungszeit stetig: $\frac{\ln 2}{0{,}04} \approx 17{,}33$ Jahre.
Tipp: 72er-Regel
Bei jährlicher Verzinsung verdoppelt sich ein Kapital ungefähr nach $\frac{72}{p}$ Jahren (bei 4 % also nach etwa 18 Jahren, genau $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}67$). Dieselbe Regel funktioniert für die Halbierung der Kaufkraft durch Inflation.
Typische Fehler
- Kaufkraft mit $K \cdot \left(1 - \frac{\pi}{100}\right)^n$ berechnen – richtig ist das Teilen durch $\left(1 + \frac{\pi}{100}\right)^n$.
- Beim Realzins die Prozentsätze statt der Faktoren teilen: $\frac{3}{4}$ ist kein Realzins.
- Bei der stetigen Verzinsung $p$ statt $\frac{p}{100}$ in den Exponenten schreiben.
Alle Rechnungen nehmen eine gleichbleibende Inflationsrate an. Echte Inflationsraten schwanken von Jahr zu Jahr – die Mathematik dahinter bleibt aber dieselbe.
Online üben
Stufe 3: stetige Verzinsung, Verdopplungszeit
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Aufgabe 1
\(K_0 = 11.000\,\text{€},\) \(p = 2\,\%\) stetig: Wann sind 16.500 € erreicht?\(t =\)Jahre\(t = \frac{\ln(16.500 : 11.000)}{0{,}02}\) \(\approx 20{,}27\ \text{Jahre}\)
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Aufgabe 2
\(K_0 = 50.000\,\text{€},\) \(p = 8\,\%\) stetig: Kapital nach 16 Jahren\(K =\)€\(K = 50.000 \cdot e^{0{,}08 \cdot 16}\) \(\approx 179.831{,}99\,\text{€}\)
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Aufgabe 3
\(K_0 = 25.000\,\text{€},\) \(p = 3\,\%\) stetig: Kapital nach 23 Jahren\(K =\)€\(K = 25.000 \cdot e^{0{,}03 \cdot 23}\) \(\approx 49.842{,}89\,\text{€}\)
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Aufgabe 4
\(K_0 = 20.000\,\text{€},\) \(p = 1\,\%\) stetig: Wann sind 40.000 € erreicht?\(t =\)Jahre\(t = \frac{\ln(40.000 : 20.000)}{0{,}01}\) \(\approx 69{,}31\ \text{Jahre}\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Inflation, Realzins und stetige Verzinsung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–13.
Wie die Inflationsrate selbst gemessen wird – mit Warenkorb, Laspeyres- und Paasche-Index –, erklärt die Seite Preisindex.
Eigene Werte rechnest Du mit dem Inflationsrechner nach. Wie Zinsen bei monatlicher Gutschrift effektiv wirken, zeigt die Seite Effektivzins.
Weiterlesen: Inflation, Realzins bei Wikipedia