Marktgleichgewicht
Auf einem Markt treffen Käufer und Verkäufer aufeinander. Je billiger eine Ware ist, desto mehr wird nachgefragt – je teurer, desto mehr wird angeboten. Wo sich beide Wünsche treffen, liegt das Marktgleichgewicht. Mathematisch ist das der Schnittpunkt zweier Funktionen; die Vorteile von Käufern und Verkäufern sind Flächen, die man mit Integralen berechnet.
Nachfrage- und Angebotsfunktion
Merke
- Nachfragefunktion $p_N(x)$: Höchster Preis, zu dem Käufer die Menge $x$ abnehmen. Sie fällt.
- Angebotsfunktion $p_A(x)$: Niedrigster Preis, zu dem Anbieter die Menge $x$ liefern. Sie steigt.
- Höchstpreis $p_N(0)$, Sättigungsmenge: Nullstelle von $p_N$, Mindestangebotspreis $p_A(0)$.
- Marktgleichgewicht: $p_N(x_G) = p_A(x_G)$, Gleichgewichtspreis $p_G = p_N(x_G)$.
In der Volkswirtschaft trägt man – anders als sonst in der Mathematik üblich – die Menge waagerecht und den Preis senkrecht ein. So passt es auch zu den Preisfunktionen $p(x)$.
Beispiel: Fahrradhelme auf einem regionalen Markt
$p_N(x) = 60 - 0{,}4x$ und $p_A(x) = 12 + 0{,}2x$ ($x$ in Hundert Stück, $p$ in €).
Gleichsetzen: $60 - 0{,}4x = 12 + 0{,}2x \Rightarrow 48 = 0{,}6x \Rightarrow x_G = 80$, $p_G = 12 + 0{,}2 \cdot 80 = 28$. Im Gleichgewicht werden 8.000 Helme zu je 28 € verkauft.
Höchstpreis: $p_N(0) = 60$ €, Sättigungsmenge: $60 - 0{,}4x = 0 \Rightarrow x = 150$, Mindestangebotspreis: $p_A(0) = 12$ €.
Waagerecht: Menge (in Hundert Stück), senkrecht: Preis in €. Blau getönt: Konsumentenrente, orange getönt: Produzentenrente.
Konsumenten- und Produzentenrente
Im Gleichgewicht zahlen alle denselben Preis $p_G$ – auch die Käufer, die eigentlich mehr gezahlt hätten. Diese Ersparnis aller Käufer heißt Konsumentenrente. Ebenso hätten viele Anbieter auch billiger verkauft; ihr Zusatzerlös ist die Produzentenrente.
Merke
Bei Geraden sind die Flächen Dreiecke: $KR = \frac{1}{2} \cdot x_G \cdot (p_N(0) - p_G)$, $PR = \frac{1}{2} \cdot x_G \cdot (p_G - p_A(0))$.
Fortsetzung des Beispiels
$KR = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (60 - 28) = 1.280$ und $PR = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (28 - 12) = 640$ (in Hundert Euro). Zusammen ergeben sie die Gesamtwohlfahrt von 1.920.
Beispiel mit quadratischer Nachfrage
$p_N(x) = 90 - 0{,}1x^2$ und $p_A(x) = 10 + 2x$. Gleichsetzen und ordnen: $0{,}1x^2 + 2x - 80 = 0 \;|\; \cdot 10 \Rightarrow x^2 + 20x - 800 = 0$. Mit der pq-Formel: $x = -10 \pm \sqrt{100 + 800} = -10 \pm 30$, also $x_G = 20$ und $p_G = 50$.
Ebenso $PR = 1.000 - \int_0^{20} (10 + 2x)\,dx = 1.000 - 600 = 400$. Wie man Flächen mit Integralen berechnet, steht unter Integralrechnung.
Preiselastizität der Nachfrage
Wie stark reagieren Käufer auf eine Preisänderung? Die Preiselastizität $\varepsilon$ gibt näherungsweise an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Menge ändert, wenn der Preis um 1 % steigt. Mit der Nachfragefunktion $p_N$ und ihrer Ableitung gilt an der Stelle $x$:
- $|\varepsilon| > 1$: elastisch – die Menge reagiert stärker als der Preis (z. B. bei leicht ersetzbaren Waren).
- $|\varepsilon| < 1$: unelastisch – die Menge reagiert schwächer (z. B. bei lebenswichtigen Gütern).
- $|\varepsilon| = 1$: proportional elastisch; hier ist der Erlös $p \cdot x$ maximal.
Im Helm-Beispiel im Gleichgewicht: $\varepsilon(80) = \frac{28}{80 \cdot (-0{,}4)} = -0{,}875$ – die Nachfrage ist dort unelastisch. Das Vorzeichen ist negativ, weil die Menge bei steigendem Preis sinkt.
Staatliche Eingriffe: Höchst- und Mindestpreise
Legt der Staat einen Höchstpreis unter $p_G$ fest (z. B. Mietpreisbremse), wollen mehr Käufer kaufen, als angeboten wird: Es entsteht ein Nachfrageüberhang. Ein Mindestpreis über $p_G$ (z. B. Garantiepreise in der Landwirtschaft) führt umgekehrt zu einem Angebotsüberschuss. Die Mengen liest man ab, indem man den festgelegten Preis in beide Funktionen einsetzt bzw. sie nach $x$ auflöst.
Beispiel: Höchstpreis 20 € für Fahrradhelme
Nachgefragt: $60 - 0{,}4x = 20 \Rightarrow x = 100$. Angeboten: $12 + 0{,}2x = 20 \Rightarrow x = 40$. Es fehlen also 60 (Hundert Stück) – ein Nachfrageüberhang von 6.000 Helmen.
Mengensteuer und Subvention
Erhebt der Staat eine Mengensteuer $t$ je verkaufter Einheit (wie bei Tabak, Kaffee oder Kraftstoff), müssen die Anbieter für jede Menge $t$ mehr verlangen, um dasselbe übrig zu behalten: Die Angebotskurve wandert um $t$ nach oben. Bei einer Subvention $s$ je Einheit wandert sie um $s$ nach unten.
Merke
- Neues Gleichgewicht: $p_N(x_t) = p_A(x_t) + t$. Käufer zahlen $p_K = p_N(x_t)$, Anbieter erhalten $p_P = p_K - t$.
- Steueraufkommen: $T = t \cdot x_t$ (Rechteck zwischen $p_P$ und $p_K$).
- Wohlfahrtsverlust: Tauschgewinne, die niemand mehr erhält – die Fläche zwischen Nachfrage- und Angebotskurve von $x_t$ bis $x_G$. Bei Geraden ein Dreieck: $\Delta W = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (x_G - x_t)$.
Beispiel: 6 € Steuer je Fahrradhelm
Mit $p_N(x) = 60 - 0{,}4x$ und $p_A(x) = 12 + 0{,}2x$: $60 - 0{,}4x = 12 + 0{,}2x + 6 \Rightarrow 42 = 0{,}6x \Rightarrow x_t = 70$.
Käuferpreis $p_K = 60 - 0{,}4 \cdot 70 = 32$ €, Anbieter erhalten $32 - 6 = 26$ €. Vorher lag der Preis bei 28 €: Die Käufer tragen 4 € der Steuer, die Anbieter 2 €. Die steilere Kurve – hier die Nachfrage – trägt den größeren Teil.
Steueraufkommen $T = 6 \cdot 70 = 420$, Wohlfahrtsverlust $\Delta W = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (80 - 70) = 30$ (jeweils in Hundert Euro).
Grün: Steueraufkommen (Rechteck zwischen Käufer- und Anbieterpreis). Rot: Wohlfahrtsverlust zwischen Nachfrage- und ursprünglicher Angebotskurve.
Eine Subvention wirkt umgekehrt: Es wird mehr gehandelt, Käufer zahlen weniger und Anbieter erhalten mehr – aber der Staat zahlt mehr, als beide zusammen gewinnen. Auch hier entsteht ein Wohlfahrtsverlust. Beide Fälle rechnet der Marktgleichgewicht-Rechner im Modus „mit Mengensteuer oder Subvention“ vor.
Typische Fehler
- Die Achsen vertauschen: Menge waagerecht, Preis senkrecht.
- Bei der Konsumentenrente das Integral über die Nachfragefunktion allein angeben – der bezahlte Betrag $p_G \cdot x_G$ muss abgezogen werden.
- Bei der Elastizität die Ableitung vergessen oder $x$ und $p$ vertauschen.
Online üben
Mehrere Werte trennst Du mit Semikolon, z. B. 80; 28.
Stufe 2: Konsumenten- und Produzentenrente
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Aufgabe 1
\(p_N(x) = 139{,}5 - 0{,}25x,\) \(p_A(x) = 12 + 0{,}5x:\) Konsumenten- und Produzentenrente\(KR; PR\)\(x_G = 170,\) \(p_G = 97,\) \(KR = \tfrac{1}{2} \cdot 170 \cdot 42{,}5\) \(= 3612{,}5,\) \(PR = 7225\)
-
Aufgabe 2
\(p_N(x) = 644 - 2x,\) \(p_A(x) = 39 + 0{,}75x:\) Konsumenten- und Produzentenrente\(KR; PR\)\(x_G = 220,\) \(p_G = 204,\) \(KR = \tfrac{1}{2} \cdot 220 \cdot 440\) \(= 48.400,\) \(PR = 18.150\)
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Aufgabe 3
\(p_N(x) = 398 - 0{,}5x,\) \(p_A(x) = 23 + x:\) Konsumenten- und Produzentenrente\(KR; PR\)\(x_G = 250,\) \(p_G = 273,\) \(KR = \tfrac{1}{2} \cdot 250 \cdot 125\) \(= 15.625,\) \(PR = 31.250\)
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Aufgabe 4
\(p_N(x) = 541 - 1{,}5x,\) \(p_A(x) = 21 + 0{,}5x:\) Konsumenten- und Produzentenrente\(KR; PR\)\(x_G = 260,\) \(p_G = 151,\) \(KR = \tfrac{1}{2} \cdot 260 \cdot 390\) \(= 50.700,\) \(PR = 16.900\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Marktgleichgewicht und Renten
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–13.
Üben: Mengensteuer und Subvention
Stufe 1: neues Gleichgewicht
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Aufgabe 1
\(p_N(x) = 149 - 2x,\) \(p_A(x) = 5 + 2x,\) Mengensteuer \(t = 8:\ x_t,\) \(p_K\)\(x_t; p_K\)\(149 - 2x\) \(= 5 + 2x + 8\) \(\Rightarrow 4x = 136\) \(\Rightarrow x_t = 34,\) \(p_K = p_N(34)\) \(= 81\)
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Aufgabe 2
\(p_N(x) = 110 - 4x,\) \(p_A(x) = 14 + 2x,\) Mengensteuer \(t = 6:\ x_t,\) \(p_K\)\(x_t; p_K\)\(110 - 4x\) \(= 14 + 2x + 6\) \(\Rightarrow 6x = 90\) \(\Rightarrow x_t = 15,\) \(p_K = p_N(15)\) \(= 50\)
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Aufgabe 3
\(p_N(x) = 335 - 3x,\) \(p_A(x) = 11 + 3x,\) Mengensteuer \(t = 18:\ x_t,\) \(p_K\)\(x_t; p_K\)\(335 - 3x\) \(= 11 + 3x + 18\) \(\Rightarrow 6x = 306\) \(\Rightarrow x_t = 51,\) \(p_K = p_N(51)\) \(= 182\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Mengensteuer und Subvention im Marktmodell
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Eigene Funktionen untersuchst Du mit dem Marktgleichgewicht-Rechner. Preis-Absatz-Funktionen im Monopol und Gewinnmaximierung findest Du unter Kosten, Erlös und Gewinn.
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