Logarithmusgesetze
Der Logarithmus $\log_b(u)$ beantwortet die Frage „Mit welcher Hochzahl wird $b$ zu $u$?“. Weil Logarithmen Hochzahlen sind, übertragen sich die Potenzgesetze auf sie: Aus Malnehmen wird Addieren, aus Teilen wird Subtrahieren, aus Potenzieren wird Malnehmen. Hier findest Du alle Regeln, die häufigsten Fehler und einen Trainer zum Üben.
Die Regeln im Überblick
Für $u, v > 0$, eine Basis $b > 0$ mit $b \neq 1$ und jede Zahl $k$ gilt:
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | $\log_b(u \cdot v) = \log_b(u) + \log_b(v)$ | $\lg(4) + \lg(25) = \lg(100) = 2$ |
| Quotientenregel | $\log_b\left(\frac{u}{v}\right) = \log_b(u) - \log_b(v)$ | $\log_2(40) - \log_2(5) = \log_2(8) = 3$ |
| Potenzregel | $\log_b\left(u^k\right) = k \cdot \log_b(u)$ | $\log_3\left(9^4\right) = 4 \cdot 2 = 8$ |
| Wurzeln | $\log_b\left(\sqrt[n]{u}\right) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(u)$ | $\log_5\left(\sqrt{125}\right) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ |
| Basiswechsel | $\log_b(u) = \dfrac{\lg(u)}{\lg(b)} = \dfrac{\ln(u)}{\ln(b)}$ | $\log_2(10) = \frac{\lg 10}{\lg 2} \approx 3{,}32$ |
| Sonderwerte | $\log_b(1) = 0,\quad \log_b(b) = 1,\quad \log_b\left(b^k\right) = k$ | $\log_7(1) = 0,\ \lg(1000) = 3$ |
Warum gelten die Regeln?
Schreibe $u = b^m$ und $v = b^n$, also $m = \log_b(u)$ und $n = \log_b(v)$. Dann ist $u \cdot v = b^m \cdot b^n = b^{m + n}$ – und das heißt $\log_b(u \cdot v) = m + n$. Genauso folgt aus $\frac{b^m}{b^n} = b^{m - n}$ die Quotientenregel und aus $\left(b^m\right)^k = b^{k \cdot m}$ die Potenzregel. Die Potenzgesetze stecken also in jeder Logarithmusregel.
Zusammenfassen und Zerlegen
Zusammenfassen: $2\log(a) + \log(b) - 3\log(c)$
Erst die Faktoren als Hochzahlen hineinziehen: $\log\left(a^2\right) + \log(b) - \log\left(c^3\right)$. Dann Plus zu Mal und Minus zu Geteilt: $\log\left(\frac{a^2 b}{c^3}\right)$.
Zerlegen: $\log\left(\frac{x^3 \sqrt{y}}{z^2}\right)$
$= \log\left(x^3\right) + \log\left(\sqrt{y}\right) - \log\left(z^2\right) = 3\log(x) + \frac{1}{2}\log(y) - 2\log(z)$
Steht kein Index am $\log$, gilt das Ergebnis für jede Basis – die Regeln hängen nicht von der Basis ab, solange sie überall dieselbe ist.
Typische Fehler
| falsch | richtig |
|---|---|
| $\log(u + v) = \log(u) + \log(v)$ | Für eine Summe im Argument gibt es keine Regel. Nur $\log(u \cdot v) = \log(u) + \log(v)$. |
| $\frac{\log(u)}{\log(v)} = \log(u) - \log(v)$ | $\log\left(\frac{u}{v}\right) = \log(u) - \log(v)$. Ein Bruch aus zwei Logarithmen ist ein Basiswechsel. |
| $\left(\log(u)\right)^2 = 2\log(u)$ | $\log\left(u^2\right) = 2\log(u)$. Die Hochzahl muss im Argument stehen. |
| $\log(2u) = 2\log(u)$ | $\log(2u) = \log(2) + \log(u)$ |
Kurzer Test für den ersten Fehler: $\lg(10 + 10) = \lg(20) \approx 1{,}30$, aber $\lg(10) + \lg(10) = 2$.
Trainer
Wähle eine Stufe: Zahlenwerte berechnen, mehrere Logarithmen zusammenfassen, einen Logarithmus zerlegen oder Gleichungen mit Basiswechsel lösen. Bei den Auswahlaufgaben bekommst Du zu jeder falschen Antwort eine Erklärung, welche Regel verletzt wurde.
Trainer: Logarithmusgesetze anwenden
Anwendung: Exponentialgleichungen
Mit der Potenzregel holst Du die Unbekannte aus dem Exponenten: Aus $3^x = 50$ wird $\lg\left(3^x\right) = \lg(50)$, also $x \cdot \lg(3) = \lg(50)$ und $x = \frac{\lg(50)}{\lg(3)} \approx 3{,}56$. Bei Logarithmusgleichungen wie $\log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3$ fasst Du zuerst zusammen: $\log_2\left(x(x - 2)\right) = 3$, also $x(x - 2) = 8$. Von den Lösungen $4$ und $-2$ passt nur $x = 4$, weil im Logarithmus keine negative Zahl stehen darf.
Online üben
Bei Stufe 2 tippst Du Terme wie log(a^2*b/c) oder 2*log(a)+log(b); Wurzeln als sqrt(a). Näherungswerte rundest Du auf zwei Nachkommastellen.
Stufe 3: Gleichungen und Basiswechsel
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Aufgabe 1
\(\log_{2}(50)\) (auf 2 Stellen)\(\frac{\lg(50)}{\lg(2)} \approx 5{,}64\)
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Aufgabe 2
\(5\cdot 3^{x} = 150\)\(3^{x} = 30,\quad x = \frac{\lg(30)}{\lg(3)} \approx 3{,}10\)
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Aufgabe 3
\(\log_{2}(x - 4) = 3\)\(x - 4 = 8,\ x = 12\)
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Aufgabe 4
\(2^{x} = 100\)\(x = \frac{\lg(100)}{\lg(2)} \approx 6{,}64\)
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Aufgabe 5
\(\log_{2}(x) + \log_{2}(x - 2) = 3\)\(x(x - 2) = 8,\ x = 4\ (\text{nicht } -2)\)
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Aufgabe 6
\(3^{x} = 100\)\(x = \frac{\lg(100)}{\lg(3)} \approx 4{,}19\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Logarithmusgesetze
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 10–11.
Einzelne Logarithmen berechnet der Logarithmus-Rechner. Die Grundlagen zu $\lg$ und $\ln$ stehen beim Logarithmus, die Anwendung bei Wachstumsprozessen beim exponentiellen Wachstum.
Weiterlesen: Logarithmus bei Wikipedia