Prüfziffern: EAN, ISBN, Luhn und IBAN
Beim Abtippen einer langen Nummer passiert schnell ein Fehler: eine Ziffer falsch, zwei Ziffern vertauscht. Damit das sofort auffällt, hängt man an viele Nummern eine Prüfziffer an. Sie wird aus den übrigen Ziffern berechnet – meist mit einer gewichteten Summe und dem Rest bei einer Division. Stimmt die Rechnung beim Prüfen nicht, ist die Nummer sicher falsch.
Das Prinzip
Jede Ziffer wird mit einem Gewicht multipliziert, die Produkte werden addiert. Die Prüfziffer wird so gewählt, dass die Summe durch eine feste Zahl $m$ teilbar ist (EAN: $m = 10$, ISBN-10: $m = 11$, IBAN: $m = 97$). Beim Prüfen rechnet man dieselbe Summe nach – ist sie nicht durch $m$ teilbar, steckt ein Fehler in der Nummer.
EAN-13, GTIN und ISBN-13
Die 13-stellige Nummer unter dem Strichcode heißt EAN (European Article Number) oder heute GTIN. Auch die ISBN-13 eines Buches ist eine EAN – sie beginnt mit 978 oder 979. Die Gewichte sind abwechselnd 1 und 3, und zwar so, dass die Prüfziffer ganz rechts das Gewicht 1 bekommt. Bei 13 Stellen beginnt man links also mit 1.
Beispiel: Prüfziffer der (ausgedachten) EAN 4 012345 67890?
| Stelle | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ziffer | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | ? |
| Gewicht | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| Produkt | 4 | 0 | 1 | 6 | 3 | 12 | 5 | 18 | 7 | 24 | 9 | 0 | ? |
Summe der ersten zwölf Produkte: $S = 89$. Bis zum nächsten Vielfachen von 10 fehlen 1, also ist die Prüfziffer 1 und die vollständige Nummer lautet 4 012345 678901.
Kurz: Prüfziffer $= (10 - S \bmod 10) \bmod 10$. Endet $S$ schon auf 0, ist die Prüfziffer 0.
Was erkennt die EAN? Jede einzelne falsche Ziffer, denn die Gewichte 1 und 3 haben mit 10 keinen gemeinsamen Teiler. Vertauschte Nachbarziffern $a$ und $b$ ändern die Summe um $2(a - b)$ – das fällt auf, außer wenn sich $a$ und $b$ um 5 unterscheiden (z. B. 2 und 7).
Probiere es aus – tippe eine EAN von einer Verpackung ein oder ersetze eine Ziffer durch „?“:
ISBN-10
Ältere Bücher tragen eine zehnstellige ISBN. Hier sind die Gewichte $10, 9, 8, \ldots, 1$, und die Summe muss durch 11 teilbar sein. Weil die Prüfziffer dann auch 10 sein kann, schreibt man dafür ein X.
Beispiel: ausgedachte ISBN-10 3-12-345678-?
$10 \cdot 3 + 9 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 4 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 8 = 186$, und $186 = 16 \cdot 11 + 10$. Zur nächsten durch 11 teilbaren Zahl fehlen 1, also ist das Prüfzeichen 1: 3-12-345678-1.
Weil 11 eine Primzahl ist, erkennt die ISBN-10 jeden einzelnen Ziffernfehler und jede Vertauschung zweier Nachbarziffern – sie ist also sogar etwas sicherer als die EAN.
Das Luhn-Verfahren
Kreditkartennummern, die IMEI von Handys und viele Kundennummern nutzen das Verfahren von Hans Peter Luhn („Modulo 10“):
- Von rechts beginnend wird jede zweite Ziffer verdoppelt – die Prüfziffer selbst nicht, die Ziffer links daneben schon.
- Ergibt das Verdoppeln mehr als 9, zieht man 9 ab (das ist dasselbe wie die Quersumme: $14 \to 1 + 4 = 5$).
- Alle Werte werden addiert. Die Nummer ist gültig, wenn die Summe durch 10 teilbar ist.
Beispiel: Prüfziffer zu 9876543
Mit Prüfziffer 1 lautet die Nummer 98765431. Von rechts: 1 bleibt, 3 wird verdoppelt, 4 bleibt, 5 wird verdoppelt und so weiter. Die Werte lauten von links nach rechts 9, 8, 5, 6, 1, 4, 6, 1 – Summe 40, durch 10 teilbar. ✓
Das Luhn-Verfahren erkennt jeden einzelnen Ziffernfehler und fast alle Vertauschungen von Nachbarziffern – nur „09“ ↔ „90“ bleibt unentdeckt. Hier kannst Du es ausprobieren. Die Rechnung läuft nur in Deinem Browser:
Achtung
Eine stimmige Prüfziffer heißt nur: Die Nummer ist richtig aufgebaut. Ob es die Karte oder das Konto gibt, verrät sie nicht. Gib echte Karten- oder Kontonummern nie auf unbekannten Seiten ein.
Die IBAN-Prüfsumme (modulo 97)
Eine deutsche IBAN hat 22 Zeichen: Ländercode DE, zwei Prüfziffern und die 18-stellige Kontokennung (Bankleitzahl und Kontonummer). Geprüft wird mit dem Rest bei Division durch 97:
- Die ersten vier Zeichen (Land und Prüfziffern) ans Ende stellen.
- Buchstaben in Zahlen umwandeln: A = 10, B = 11, …, Z = 35 – aus DE wird 1314.
- Die entstandene lange Zahl durch 97 teilen. Bei einer gültigen IBAN ist der Rest 1.
Zum Berechnen der Prüfziffern setzt man sie zuerst auf 00, rechnet den Rest $r$ aus und nimmt $98 - r$ (zweistellig, also z. B. 07).
Beispiel mit der ausgedachten Kontokennung 1234 5678 9012 3456 78
Mit Prüfziffern 00 und umgestellt entsteht die Zahl 123456789012345678131400. Sie lässt bei Division durch 97 den Rest 55. Die Prüfziffern sind also $98 - 55 = 43$, und die (fiktive) IBAN lautet DE43 1234 5678 9012 3456 78. Zu ihr gibt es kein Konto – sie dient nur als Rechenbeispiel.
So große Zahlen teilt man in Stücken: Rest der ersten neun Ziffern bilden, die nächsten Ziffern dahinterschreiben, wieder den Rest bilden – das geht nach den Rechenregeln für Reste.
Die Prüfung modulo 97 erkennt alle Fehler in einer einzelnen Ziffer und alle Vertauschungen von Nachbarziffern. Teste das Verfahren – zum Beispiel mit der Übungs-IBAN oben, in der Du eine Ziffer änderst. Statt der Prüfziffern kannst Du auch „??“ eingeben:
Die Verfahren im Vergleich
| Nummer | Gewichte | Modul | einzelne Ziffer falsch | Nachbarn vertauscht |
|---|---|---|---|---|
| EAN-13, ISBN-13 | 1, 3, 1, 3, … | 10 | immer erkannt | erkannt, außer Unterschied 5 |
| ISBN-10 | 10, 9, …, 1 | 11 | immer erkannt | immer erkannt |
| Luhn (Karten, IMEI) | 1, 2, 1, 2, … von rechts | 10 | immer erkannt | erkannt, außer 09 ↔ 90 |
| IBAN | Stellenwerte der langen Zahl | 97 | immer erkannt | immer erkannt |
Typische Fehler
- Gewichte falsch herum: Bei der EAN bekommt die Prüfziffer das Gewicht 1. Bei EAN-13 beginnt man links mit 1, bei EAN-8 mit 3.
- Prüfziffer = Rest: Die Prüfziffer ist nicht $S \bmod 10$, sondern das, was zum nächsten Zehner fehlt.
- Luhn von links: Verdoppelt wird von rechts gezählt – sonst stimmt es nur bei Nummern mit gerader Länge zufällig.
- IBAN-Prüfziffern als Rest: Gesucht ist $98 - r$, nicht $r$; und beim Prüfen muss der Rest 1 sein, nicht 0.
Alle Rechnungen mit Rechenweg findest Du im Prüfziffer-Rechner. Mehr zum Rechnen mit Resten steht unter Modulo und euklidischer Algorithmus, Teilbarkeit durch 10, 11 und andere Zahlen unter Teilbarkeitsregeln.
Online üben
Alle Nummern in den Aufgaben sind ausgedacht. Bei „gültig?“ antwortest Du mit gültig oder ungültig, beim ISBN-10-Prüfzeichen mit einer Ziffer oder X.
Stufe 1: EAN-13 und ISBN-13
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Aufgabe 1
ISBN-13: \(978\,1\,1046\,9140\,?:\) Prüfziffer \(\square = ?\)\(S = 80 \Rightarrow \square = 0\ \ (80 + 0 = 80)\)
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Aufgabe 2
\(\text{EAN: }4\,244325\,41305?:\) Prüfziffer \(\square = ?\)\(S = 77 \Rightarrow \square = 3\ \ (77 + 3 = 80)\)
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Aufgabe 3
ISBN-13: \(978\,1\,2400\,1210\,?:\) Prüfziffer \(\square = ?\)\(S = 63 \Rightarrow \square = 7\ \ (63 + 7 = 70)\)
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Aufgabe 4
ISBN-13: \(979\,3\,4942\,7683\,?:\) Prüfziffer \(\square = ?\)\(S = 131 \Rightarrow \square = 9\ \ (131 + 9 = 140)\)
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Aufgabe 5
ISBN-13: \(978\,0\,3588\,9892\,4:\) \(\text{gültig?}\)\(S = 140 \Rightarrow \text{gültig}\)
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Aufgabe 6
\(\text{EAN: }7\,617326\,86488?:\) Prüfziffer \(\square = ?\)\(S = 136 \Rightarrow \square = 4\ \ (136 + 4 = 140)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Prüfziffern: EAN, ISBN, Luhn und IBAN
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–13.
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