Zahlensysteme: Dualsystem und Hexadezimalsystem
Wir rechnen im Zehnersystem, weil wir zehn Finger haben. Computer kennen dagegen nur „Strom an“ und „Strom aus“ – sie rechnen im Zweiersystem. Hier lernst Du, wie Stellenwertsysteme funktionieren und wie Du Zahlen zwischen dem Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystem umrechnest.
Das Stellenwertsystem
Im Dezimalsystem (Zehnersystem) gibt es zehn Ziffern von 0 bis 9. Was eine Ziffer wert ist, hängt von ihrer Stelle ab: Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
Das geht mit jeder anderen Zahl als Basis genauso. Im System mit der Basis $b$ gibt es die Ziffern $0$ bis $b-1$, und die Stellenwerte sind $1,\ b,\ b^{2},\ b^{3}, \ldots$ Damit man sieht, in welchem System eine Zahl steht, schreibt man die Basis klein dahinter: $10111_{2}$ ist eine Dualzahl, $2F_{16}$ eine Hexadezimalzahl.
Merke
- Basis 2: Dualsystem (Binärsystem), Ziffern 0 und 1
- Basis 8: Oktalsystem, Ziffern 0 bis 7
- Basis 10: Dezimalsystem, Ziffern 0 bis 9
- Basis 16: Hexadezimalsystem, Ziffern 0 bis 9 und A bis F (A = 10 … F = 15)
Die römischen Zahlen sind übrigens kein Stellenwertsystem: Ein X ist immer 10 wert, egal wo es steht.
Das Dualsystem (Binärsystem)
Im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte verdoppeln sich von rechts nach links:
| Stellenwert | $2^{7}$ | $2^{6}$ | $2^{5}$ | $2^{4}$ | $2^{3}$ | $2^{2}$ | $2^{1}$ | $2^{0}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| als Zahl | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Dual → dezimal
Schreibe die Stellenwerte über die Ziffern und addiere die Stellenwerte, unter denen eine 1 steht:
Beispiel
Dezimal → dual: fortgesetzt durch 2 teilen
Teile die Zahl immer wieder durch 2 und notiere die Reste, bis 0 herauskommt. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Dualzahl.
Beispiel: 23 ins Dualsystem
Der erste Rest ist die letzte Ziffer – deshalb liest Du von unten nach oben.
Tipp: Zweierpotenzen abziehen
Bei kleinen Zahlen geht es auch im Kopf: Suche die größte Zweierpotenz, die in die Zahl passt, und zieh sie ab. $23 = 16 + 7 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1$. An den Stellen 16, 4, 2 und 1 steht eine 1, bei 8 eine 0: $10111_{2}$.
Eine Dualziffer heißt Bit, acht Bit sind ein Byte. Mit 8 Bit kannst Du die Zahlen von $0$ bis $11111111_{2} = 255$ darstellen – also $2^{8} = 256$ verschiedene Werte.
Das Hexadezimalsystem
Dualzahlen werden schnell sehr lang. Programmierer fassen deshalb je vier Bit zu einer Hexadezimalziffer zusammen. Weil es dafür 16 Ziffern braucht, nimmt man nach der 9 die Buchstaben A bis F. Die Stellenwerte sind $1,\ 16,\ 256,\ 4096, \ldots$
Beispiel
Umgekehrt teilst Du durch 16: $200 : 16 = 12$ Rest $8$, $12 : 16 = 0$ Rest $12$ (= C). Also $200 = C8_{16}$.
Hexadezimalzahlen begegnen Dir zum Beispiel bei Farben im Internet: #FF8800 heißt Rot $FF_{16} = 255$, Grün $88_{16} = 136$, Blau $00_{16} = 0$ – ein kräftiges Orange.
Abkürzung: Dual ↔ hexadezimal ohne Umweg
Weil $16 = 2^{4}$ ist, entspricht jede Hex-Ziffer genau vier Dualziffern. Teile die Dualzahl von rechts in Vierergruppen und übersetze jede Gruppe mit der Tabelle:
| Hex | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| dual | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Beim Oktalsystem ($8 = 2^{3}$) funktioniert es genauso mit Dreiergruppen: $111\,111\,111_{2} = 777_{8}$.
Rechnen im Dualsystem
Du addierst Dualzahlen schriftlich wie im Zehnersystem – nur dass es schon bei 2 einen Übertrag gibt:
Beispiel: $1011_{2} + 110_{2}$
| 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| + | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Von rechts: $1 + 0 = 1$. Dann $1 + 1 = 10$: 0 schreiben, 1 übertragen. Dann $0 + 1 + 1 = 10$: wieder 0, 1 übertragen. Dann $1 + 1 = 10$, und der letzte Übertrag kommt nach vorne: $10001_{2}$. Probe: $11 + 6 = 17 = 10001_{2}$ ✓
Mal $10_{2}$ (also mal 2) heißt im Dualsystem: eine 0 anhängen – genau wie „mal 10“ im Zehnersystem. $1011_{2} \cdot 10_{2} = 10110_{2}$.
Genau so rechnet auch ein Computer: Für jede Stelle gibt es eine kleine Schaltung, die zwei Bits und den Übertrag addiert. Wie sie aus Logikgattern aufgebaut ist, zeigt die Seite Halbaddierer und Volladdierer.
Typische Fehler
- Die Reste der Division in der falschen Reihenfolge lesen: Der erste Rest ist die letzte Ziffer.
- Die Stellenwerte von links statt von rechts zählen: Ganz rechts steht immer die Stelle $b^{0} = 1$.
- Im Dualsystem die Ziffer 2 schreiben: $1 + 1$ ergibt $10_{2}$, nicht $2$.
- Bei Hexzahlen vergessen, dass A bis F für 10 bis 15 stehen.
Mit dem Zahlensystem-Rechner kannst Du jede Zahl zwischen den Basen 2 bis 36 umrechnen – mit Stellenwerttabelle und Restdivision.
Online üben
Dualzahlen tippst Du einfach als Folge von Nullen und Einsen ein (z. B. 10111), Hexzahlen mit Buchstaben (z. B. 2F). In Stufe 2 kommen Hexadezimal- und Oktalzahlen dazu, in Stufe 3 rechnest Du im Dualsystem.
Stufe 1: dual ↔ dezimal
-
Aufgabe 1
\(16\) als Dualzahl\(16\) als Dualzahl \(= \mathrm{1\,0000}_{2}\)
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Aufgabe 2
\(254\) als Dualzahl\(254\) als Dualzahl \(= \mathrm{1111\,1110}_{2}\)
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Aufgabe 3
\(\mathrm{110}_{2}\)\(\mathrm{110}_{2} = 6\)
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Aufgabe 4
\(234\) als Dualzahl\(234\) als Dualzahl \(= \mathrm{1110\,1010}_{2}\)
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Aufgabe 5
\(\mathrm{1111\,0101}_{2}\)\(\mathrm{1111\,0101}_{2} = 245\)
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Aufgabe 6
\(\mathrm{110\,1101}_{2}\)\(\mathrm{110\,1101}_{2} = 109\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Zahlensysteme: Dual- und Hexadezimalzahlen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 5–7.
Passend dazu: Stellenwerte im Zehnersystem, Potenzen und die wissenschaftliche Schreibweise.
Weiterlesen: Dualsystem bei Wikipedia