Abitur-Aufgaben online üben
Im Abitur bekommst Du selten eine nackte Rechenaufgabe. Meistens steht zuerst ein Text: ein Ball fliegt, Wasser läuft in ein Becken, eine Firma testet ihre Bauteile. Danach kommen mehrere Teilaufgaben, die aufeinander aufbauen. Genau so sind die Aufgaben auf dieser Seite gebaut – mit Punkten wie in der Prüfung, Tipp, Lösungsweg und immer wieder neuen Zahlen.
So gehst Du an eine Abitur-Aufgabe heran
- Text zweimal lesen. Beim ersten Mal verstehst Du die Situation. Beim zweiten Mal markierst Du alles, was gegeben ist: Funktionen, Zahlen, Einheiten.
- In Mathe übersetzen. Frag Dich bei jeder Teilaufgabe: Suche ich einen Funktionswert, einen Hoch- oder Tiefpunkt, eine Nullstelle, eine Fläche, eine Wahrscheinlichkeit oder einen Abstand? Typische Signalwörter: „am höchsten“ → Hochpunkt, „am stärksten“ → Wendepunkt, „insgesamt“ → Integral, „mindestens einmal“ → Gegenereignis.
- Rechnen – mit Rechenweg. In der echten Prüfung gibt es für den Weg Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt.
- Antwortsatz mit Einheit. „Der Ball ist nach 1,5 Sekunden am höchsten.“ – so zeigst Du, dass Du das Ergebnis im Sachzusammenhang verstanden hast.
Die wichtigsten Arbeitsanweisungen (Operatoren)
- Berechne / Bestimme: Ergebnis mit Rechenweg. Bei „bestimme“ darfst Du auch den Taschenrechner nutzen, wenn er erlaubt ist.
- Gib an: nur das Ergebnis, ohne Begründung.
- Zeige / Weise nach: Das Ergebnis steht schon da – Du musst sauber herleiten, dass es stimmt.
- Begründe / Beurteile: mit Worten (und Rechnung) erklären, warum etwas so ist.
- Interpretiere: Was bedeutet die Zahl in der Situation? Zum Beispiel: „Nach 4 Minuten fließt am meisten Wasser zu.“
Analysis
Kurvendiskussion wie im hilfsmittelfreien Teil, e-Funktion mit Fläche, Flugbahnen, Wachstum und Abkühlung. Wähle oben eine Aufgabe aus oder lass Dir mit „Neue Zahlen“ eine neue Version geben.
Wasser im Becken · 10 Punkte wie in der Prüfung
In ein leeres Becken läuft Wasser. Die Zuflussrate in Litern pro Minute beträgt r(t) = 2 · t · (12 − t) für 0 ≤ t ≤ 12 (t in Minuten). Danach wird der Zufluss geschlossen.
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Teilaufgabe a) · 2 P.
Wie groß ist die Zuflussrate nach 1 Minuten?l/min\(r(1) = 22\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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Teilaufgabe b) · 3 P.
Zu welchem Zeitpunkt fließt am meisten Wasser zu?min\(r'(t) = 2 \cdot (12 - 2t) = 0\) \(\Rightarrow\; t = 6\,\text{min}\)
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Teilaufgabe c) · 2 P.
Wie groß ist die größte Zuflussrate?l/min\(r(6) = 72\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
Wie viele Liter sind nach 12 Minuten im Becken?l\(\int_{0}^{12} r(t)\,dt\) \(= 2 \cdot \left[12\tfrac{t^2}{2} - \tfrac{t^3}{3}\right]_0^{12}\) \(= 576\,\text{l}\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Stochastik
Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung und Hypothesentests – rechts- und linksseitig, mit Fehler 1. und 2. Art.
Linksseitiger Test mit Fehler 2. Art · 10 Punkte wie in der Prüfung
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 50 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 100 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,5 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt.
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Teilaufgabe a) · 1 P.
Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hat\(E(X) = 100 \cdot 0{,}5 = 50\)
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Teilaufgabe b) · 4 P.
Bis zu wie vielen Befürwortern wird \(H_0\) abgelehnt?\(P(X \leq 41)\) \(\approx 0{,}0443\) \(\leq 0{,}05,\) \(P(X \leq 42)\) \(\approx 0{,}0666\) \(> 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 41\}\)
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Teilaufgabe c) · 2 P.
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)\(\alpha = P(X \leq 41) \approx 0{,}0443\)
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Teilaufgabe d) · 3 P.
In Wahrheit sind nur 40 % dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)\(\beta = P_{p = 0{,}4}(X \geq 42)\) \(= 1 - P(X \leq 41)\) \(\approx 0{,}3775\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Analytische Geometrie
Bewegungen im Raum, Ebenen, Winkel und Abstände – so wie sie im Abitur gern mit Flugzeugen, Dächern und Zelten verpackt werden.
Zelt in Pyramidenform · 10 Punkte wie in der Prüfung
Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden ABCD und Spitze S: A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0), D(0|4|0) und S(2|2|4). Eine Längeneinheit ist 1 m.
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Teilaufgabe a) · 3 P.
Wie lang ist die Kante \(\overline{AS}\)? (auf 2 Stellen runden)m\(|\overrightarrow{AS}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} \approx 4{,}9\,\text{m}\)
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Teilaufgabe b) · 2 P.
Wie groß ist das Volumen des Zelts?m³\(V = \tfrac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 4 = 21{,}33\,\text{m}^3\)
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Teilaufgabe c) · 3 P.
Neigungswinkel der Kante \(AS\) gegen den Boden (auf 2 Stellen runden)°\(\sin\alpha = \frac{4}{\sqrt{24}} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 54{,}74^\circ\)
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Teilaufgabe d) · 2 P.
Mittelpunkt \(M\) der Kante \(BS\)\(M\left(\tfrac{4 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 2}{2} \mid \tfrac{0 + 4}{2}\right)\) \(= M(3 \mid 1 \mid 2)\)
Rechne auf Papier und tippe nur das Ergebnis ein. Dezimalzahlen mit Komma, Punkte als H(2|5), mehrere Punkte mit ; trennen, Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl oder in Prozent. Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen. Mehr Aufgaben dieser Art: Abitur-Aufgaben üben.
Als Prüfung mit Zeit und Note
Wenn Du die Aufgaben sicher kannst, probiere sie unter Prüfungsbedingungen: Die Probe-Klausur „Abitur: Anwendungsaufgaben“ mischt je eine Aufgabe aus Analysis, Stochastik und Geometrie – mit 60 Minuten Zeit und Notenpunkten am Ende. Alle weiteren Probe-Klausuren findest Du unter Klassenarbeit & Abitur, die passenden Formeln in der Formelsammlung.