Spickzettel: Analysis

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Analysis (Klasse 11–13) – 29 Einträge in 4 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

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Ableitungsregeln

Potenzregel: \((x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}\)
Faktor- und Summenregel: \((c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f + g)' = f' + g'\)
Produktregel: \((u \cdot v)' = u' v + u v'\)
Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}\)
Kettenregel: \(\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\); äußere mal innere Ableitung
Wichtige Ableitungen: \((e^{x})' = e^{x} \quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x\)
Wurzel, Exponent: \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad (a^{x})' = \ln a \cdot a^{x}\)

Kurvendiskussion

Extremstelle: \(f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) \neq 0\); f″ < 0 Hochpunkt, f″ > 0 Tiefpunkt
Wendestelle: \(f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0\)
Monotonie: \(f'(x) > 0: \text{ steigend} \qquad f'(x) < 0: \text{ fallend}\)
Tangente: \(t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\)
Normale: \(n(x) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) + f(x_0)\)
Gebrochenrational: \(\text{Zählergrad} < \text{Nennergrad}: \; y = 0\); gleich: Quotient der Leitkoeffizienten; um 1 größer: schiefe Asymptote
Polstelle: \(\text{Nenner } 0, \text{ Zähler } \neq 0\); sonst evtl. hebbare Lücke
Krümmung: \(f''(x) > 0: \text{ linksgekrümmt} \qquad f''(x) < 0: \text{ rechtsgekrümmt}\)
Extremwertaufgabe: \(\text{Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion ableiten}\); Ränder des Definitionsbereichs prüfen
Newton-Verfahren: \(x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\); Näherung für Nullstellen

Integralrechnung

Stammfunktion: \(F'(x) = f(x)\)
Grundintegrale: \(\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \quad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
Hauptsatz: \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Fläche zwischen Graphen: \(A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|\,dx\); an Schnittstellen aufteilen
Mittelwert: \(\overline{m} = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
Lineare Substitution: \(\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C\)
Partielle Integration: \(\int u' v\,dx = u v - \int u v'\,dx\)
Rotationsvolumen: \(V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^{2}\,dx\)

Grenzwerte und Folgen

Wichtige Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\)
Arithmetische Folge: \(a_n = a_1 + (n - 1)d \qquad s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
Geometrische Folge: \(a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} \qquad s_n = a_1 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\)
Geometrische Reihe: \(s = \frac{a_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)\)

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.