Spickzettel: Funktionen

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Funktionen (Klasse 8–11) – 29 Einträge in 6 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Funktionen

Lineare Funktionen

Gleichung: \(f(x) = mx + b\); m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt
Steigung: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Punkt-Steigungs-Form: \(y = m(x - x_1) + y_1\)
Nullstelle: \(x_0 = -\frac{b}{m}\)
Parallel und senkrecht: \(m_1 = m_2 \qquad m_1 \cdot m_2 = -1\)
Schnittpunkt zweier Geraden: \(2x + 1 = -x + 7 \;\Rightarrow\; x = 2,\; y = 5\); gleichsetzen, x in eine Gleichung einsetzen
Gerade durch zwei Punkte: \(P(1 \mid 3),\; Q(3 \mid 7): \; m = 2,\; b = 1\); erst m, dann b mit einem Punkt

Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - d)^{2} + e\); S(d | e)
Allgemeine Form: \(f(x) = ax^{2} + bx + c\); Scheitel bei x = −b/(2a)
Nullstellen: \(ax^{2} + bx + c = 0\); pq- oder abc-Formel

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion

Potenzfunktion: \(f(x) = a \cdot x^{n}\); n gerade: achsensymmetrisch, n ungerade: punktsymmetrisch
Hyperbel: \(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\); Asymptoten: beide Achsen
Wurzelfunktion: \(f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad (x \geq 0)\)
Exponentialfunktion: \(f(x) = a \cdot b^{x}\); b > 1 Wachstum, 0 < b < 1 Zerfall
e-Funktion: \(f(x) = e^{kx} \qquad e \approx 2{,}718\)
Halbwertszeit: \(T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 0{,}5}{\ln b} \qquad T_2 = \frac{\ln 2}{\ln b}\)
Logarithmus: \(f(x) = \log_{b}(x) \text{ ist die Umkehrung von } b^{x}\)

Trigonometrische Funktionen

Allgemeine Sinusfunktion: \(f(x) = a \cdot \sin(b(x - c)) + d\); Amplitude |a|, Periode 2π/b
Bogenmaß: \(x = \frac{\alpha}{180^{\circ}} \cdot \pi \qquad 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}\)
Wichtige Werte: \(\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \quad \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \quad \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zusammenhang: \(\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1\)

Verschieben, Strecken, Spiegeln

Verschieben: \(f(x - c) + d\); c nach rechts, d nach oben
Strecken: \(a \cdot f(x) \qquad f(b \cdot x)\); a: in y-Richtung, b: in x-Richtung (Faktor 1/b)
Spiegeln: \(-f(x) \qquad f(-x)\); an der x-Achse bzw. an der y-Achse

Eigenschaften

Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\); zur y-Achse
Punktsymmetrie: \(f(-x) = -f(x)\); zum Ursprung
Umkehrfunktion: \(y = f(x) \text{ nach } x \text{ auflösen, } x \text{ und } y \text{ tauschen}\); Graph an y = x spiegeln
Ganzrationale Funktion: \(f(x) = a_n x^{n} + \ldots + a_1 x + a_0\); Verhalten im Unendlichen bestimmt a_n xⁿ
Definitionsmenge: \(\frac{1}{x}: \; x \neq 0 \qquad \sqrt{x}: \; x \geq 0 \qquad \ln x: \; x > 0\)

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.