Spickzettel: Quadratische Gleichungen

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Quadratische Gleichungen (Klasse 9–10) – 32 Einträge in 4 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Quadratische Gleichungen

Formen

Allgemeine Form: \(ax^{2} + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)\)
Normalform: \(x^{2} + px + q = 0\); durch a teilen
Reinquadratisch: \(x^{2} = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3\); Wurzel ziehen, beide Vorzeichen
Ohne Absolutglied: \(x^{2} - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0,\; x_2 = 5\); ausklammern
Satz vom Nullprodukt: \(a \cdot b = 0 \;\Leftrightarrow\; a = 0 \text{ oder } b = 0\)
Beispiel: \((x - 3)(x + 2) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = -2\)
Normalform herstellen: \(3x^{2} - 12x + 9 = 0 \;\mid :3 \;\Rightarrow\; x^{2} - 4x + 3 = 0\); erst sortieren, dann durch a teilen

Lösungsformeln

pq-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}\)
Beispiel: \(x^{2} - 6x + 8 = 0: \; x = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm 1\); x₁ = 4, x₂ = 2
abc-Formel: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\); Mitternachtsformel
Beispiel: \(2x^{2} + 3x - 2 = 0: \; x = \frac{-3 \pm 5}{4}\); x₁ = 0,5, x₂ = −2
Diskriminante: \(D = b^{2} - 4ac\); D > 0: zwei, D = 0: eine, D < 0: keine Lösung
Diskriminante (pq): \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q\)
Keine Lösung: \(x^{2} + 2x + 5 = 0: \; D = 1 - 5 < 0\); Parabel schneidet die x-Achse nicht
Doppelte Lösung: \(x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} = 0 \;\Rightarrow\; x = 3\); Scheitel liegt auf der x-Achse

Weitere Verfahren

Satz von Vieta: \(x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q\)
Beispiel Vieta: \(x^{2} - 7x + 12 = 0: \; 3 + 4 = 7,\; 3 \cdot 4 = 12\)
Quadratische Ergänzung: \(x^{2} + 6x = 7 \;\Rightarrow\; (x + 3)^{2} = 16 \;\Rightarrow\; x = -3 \pm 4\)
Linearfaktoren: \(x^{2} + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)
Substitution: \(x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0: \; z = x^{2} \;\Rightarrow\; z^{2} - 5z + 4 = 0\); z = 1, z = 4, also x = ±1, ±2
Faktorisieren mit Vieta: \(x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\); zwei Zahlen mit Produkt −6 und Summe 1
Bruchgleichung: \(\frac{6}{x} = x - 1 \;\Rightarrow\; x^{2} - x - 6 = 0\); mit x malnehmen, x ≠ 0 beachten
Ungleichung: \(x^{2} < 4 \;\Leftrightarrow\; -2 < x < 2 \qquad x^{2} > 4 \;\Leftrightarrow\; x < -2 \text{ oder } x > 2\)

Parabeln

Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - d)^{2} + e\); Scheitelpunkt S(d | e)
Von der Normalform: \(x^{2} - 4x + 1 = (x - 2)^{2} - 3\); S(2 | −3)
Scheitel aus Normalform: \(x_S = -\frac{p}{2} \qquad x_S = -\frac{b}{2a}\)
Öffnung: \(a > 0: \text{ nach oben} \qquad a < 0: \text{ nach unten}\); |a| > 1 schmaler, |a| < 1 breiter
Nullstellen: \(f(x) = 0 \text{ lösen}\); Schnittpunkte mit der x-Achse
Schnittpunkt zweier Graphen: \(f(x) = g(x) \text{ gleichsetzen}\)
Symmetrieachse: \(x = x_S\); genau zwischen den Nullstellen
Parabel und Gerade: \(x^{2} = x + 2 \;\Rightarrow\; x^{2} - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2,\; x = -1\); zwei, ein oder kein Schnittpunkt
Anwendung: \(A = x(10 - x) \text{ maximal bei } x = 5\); Scheitelpunkt liefert den größten Wert

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.