Spickzettel: Mathe für das Studium

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Mathe für das Studium (Klasse 12–13) – 27 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

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Logik und Mengen

Und, oder, nicht: \(A \land B \qquad A \lor B \qquad \neg A\)
Implikation: \(A \Rightarrow B \;\equiv\; \neg A \lor B\); nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist
De Morgan: \(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \qquad \neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\)
Mengen: \(A \cap B \qquad A \cup B \qquad \emptyset \subset A\)
Intervalle: \([a; b] = \lbrace x \mid a \le x \le b \rbrace\); runde Klammer: Grenze gehört nicht dazu

Summen und Induktion

Gaußsche Summe: \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
Quadratsumme: \(\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Geometrische Summe: \(\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}\); für q ungleich 1
Vollständige Induktion: \(\text{Anfang: } A(1) \qquad \text{Schritt: } A(n) \Rightarrow A(n+1)\)
Binomischer Lehrsatz: \((a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}\)

Grenzwerte und Reihen

Wichtige Grenzwerte: \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Eulersche Zahl: \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e\)
Regel von L’Hospital: \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\); nur bei 0/0 oder unendlich/unendlich
Geometrische Reihe: \(\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}\); für |q| < 1
Taylorpolynom: \(T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k}\)
Exponentialreihe: \(e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \ldots\)

Komplexe Zahlen

Imaginäre Einheit: \(i^{2} = -1 \qquad z = a + bi\)
Betrag und konjugiert: \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \qquad \bar{z} = a - bi\)
Multiplizieren: \((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
Polarform: \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}\)
Eulersche Identität: \(e^{i\pi} + 1 = 0\)

Lineare Algebra, DGL, Modulo

Determinante: \(\det \begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\)
Inverse Matrix: \(A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix}\)
Eigenwerte: \(\det(A - \lambda E) = 0\); Nullstellen des charakteristischen Polynoms
Wachstums-DGL: \(y' = k \cdot y \;\Rightarrow\; y(x) = C \cdot e^{kx}\)
Trennung der Variablen: \(y' = f(x) \cdot g(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx\)
Kongruenz: \(a \equiv b \;(\text{mod } n) \;\Leftrightarrow\; n \mid (a - b)\)

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.