Spickzettel: Terme und Gleichungen

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Terme und Gleichungen (Klasse 7–10) – 31 Einträge in 6 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Terme und Gleichungen

Terme

Zusammenfassen: \(3x + 5 - x + 2 = 2x + 7\); nur gleichartige Glieder
Produkte: \(3a \cdot 4b = 12ab \qquad x \cdot x = x^{2}\)
Ausmultiplizieren: \(a(b + c) = ab + ac \qquad -2(x - 3) = -2x + 6\)
Minus vor der Klammer: \(-(a - b) = -a + b\); alle Vorzeichen in der Klammer drehen
Zwei Klammern: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Ausklammern: \(6x^{2} - 9x = 3x(2x - 3)\)
1. binomische Formel: \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
2. binomische Formel: \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
3. binomische Formel: \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\)
Potenzen im Term: \(a^{2} \cdot a^{3} = a^{5} \qquad (2x)^{2} = 4x^{2}\)
Wert eines Terms: \(2x^{2} - 3 \text{ für } x = -2: \; 2 \cdot 4 - 3 = 5\); negative Zahlen in Klammern einsetzen

Lineare Gleichungen

Äquivalenzumformung: \(\text{auf beiden Seiten dasselbe tun}\); plus, minus, mal und durch (nicht 0)
Schema: \(3x + 4 = 19 \;\mid -4 \;\Rightarrow\; 3x = 15 \;\mid :3 \;\Rightarrow\; x = 5\)
Klammern zuerst: \(2(x - 1) = x + 4 \;\Rightarrow\; 2x - 2 = x + 4 \;\Rightarrow\; x = 6\)
Probe: \(2(6 - 1) = 10 = 6 + 4 \text{ (stimmt)}\); Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen
Sonderfälle: \(0 = 5: \; L = \emptyset \qquad 0 = 0: \; L = \mathbf{R}\); keine bzw. jede Zahl ist Lösung

Ungleichungen

Umformen: \(-2x < 6 \;\mid :(-2) \;\Rightarrow\; x > -3\); mal/durch negative Zahl: Zeichen umdrehen
Lösungsmenge: \(L = \{x \mid x > -3\}\); alle Zahlen größer als −3

Bruch- und Wurzelgleichungen

Definitionsmenge: \(\frac{3}{x - 2} = 1: \; D = \mathbf{R} \text{ ohne } \{2\}\); Nenner darf nicht 0 werden
Mit Hauptnenner malnehmen: \(\frac{3}{x - 2} = 1 \;\mid \cdot (x - 2) \;\Rightarrow\; 3 = x - 2 \;\Rightarrow\; x = 5\)
Wurzel isolieren, quadrieren: \(\sqrt{x + 3} = 5 \;\Rightarrow\; x + 3 = 25 \;\Rightarrow\; x = 22\)
Probe ist Pflicht: \(\sqrt{x} = -2 \text{ hat keine Lösung}\); Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen
Betragsgleichung: \(|x - 2| = 3 \;\Rightarrow\; x - 2 = 3 \text{ oder } x - 2 = -3\); x = 5 oder x = −1

Formeln umstellen

Gegenoperation: \(+ \Leftrightarrow -, \quad \cdot \Leftrightarrow :, \quad x^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x}\); die Rechnung um die gesuchte Größe rückwärts auflösen
Beispiel: \(s = v \cdot t \;\Rightarrow\; t = \frac{s}{v} \qquad v = \frac{s}{t}\)
Mit Bruch: \(A = \frac{g \cdot h}{2} \;\Rightarrow\; h = \frac{2A}{g}\)
Mit Quadrat: \(E = \frac{1}{2} m v^{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{2E}{m}}\)

Gleichungssysteme

Einsetzungsverfahren: \(y = 2x - 1 \text{ in die andere Gleichung einsetzen}\)
Gleichsetzungsverfahren: \(y = 2x - 1,\; y = -x + 5 \;\Rightarrow\; 2x - 1 = -x + 5\)
Additionsverfahren: \(\text{Gleichungen so malnehmen, dass beim Addieren eine Variable wegfällt}\)
Lösbarkeit: \(\text{eine, keine oder unendlich viele Lösungen}\); Geraden schneiden sich, sind parallel oder gleich

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.