Spickzettel: Vektoren und Analytische Geometrie

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Vektoren und Analytische Geometrie (Klasse 11–13) – 28 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Vektoren und Analytische Geometrie

Grundlagen

Verbindungsvektor: \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\); Spitze minus Fuß
Betrag: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}}\)
Abstand zweier Punkte: \(d(A, B) = |\vec{AB}|\)
Mittelpunkt: \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\)
Einheitsvektor: \(\vec{a}_0 = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}\)
Kollinear: \(\vec{a} = r \cdot \vec{b}\); Vektoren sind Vielfache voneinander

Produkte

Skalarprodukt: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
Orthogonal: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \;\Leftrightarrow\; \vec{a} \perp \vec{b}\)
Winkel: \(\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
Kreuzprodukt: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\); steht senkrecht auf beiden
Flächen: \(A_{\text{Parallelogramm}} = |\vec{a} \times \vec{b}| \qquad A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)
Spatvolumen: \(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\); Pyramide: ein Sechstel

Geraden und Ebenen

Gerade: \(g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}\)
Lage zweier Geraden: \(\text{identisch, parallel, schneidend, windschief}\); Richtungsvektoren vergleichen, dann gleichsetzen
Ebene (Parameterform): \(E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}\)
Normalenform: \(E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0\)
Koordinatenform: \(E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\)
Schnitt Gerade – Ebene: \(\text{Geradenpunkt in die Koordinatenform einsetzen}\)
Punktprobe: \(\vec{q} = \vec{p} + t \cdot \vec{u} \text{ nach } t \text{ lösen}\); gleiches t in allen Zeilen: Punkt liegt auf g
Ebene aus drei Punkten: \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC},\quad d = \vec{n} \cdot \vec{a}\)
Spurpunkte: \(S_1: x_2 = x_3 = 0 \text{ setzen}\); Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Abstände und Winkel

Punkt – Ebene: \(d = \frac{|n_1 q_1 + n_2 q_2 + n_3 q_3 - d|}{|\vec{n}|}\); Hessesche Normalform
Punkt – Gerade: \(\text{Lotfußpunkt: } (\vec{f} - \vec{q}) \cdot \vec{u} = 0\)
Winkel Gerade – Ebene: \(\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\)
Winkel Ebene – Ebene: \(\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\)

Matrizen

Determinante 2 × 2: \(\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\)
Inverse 2 × 2: \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
Lösbarkeit: \(\det A \neq 0 \;\Leftrightarrow\; A\vec{x} = \vec{b} \text{ eindeutig lösbar}\)

Mehr zum Nachschlagen: die Formelsammlungen und alle Spickzettel.