Spickzettel: Zahlen, Potenzen und Wurzeln

Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele zu Zahlen, Potenzen und Wurzeln (Klasse 5–10) – 29 Einträge in 5 Abschnitten. Zum Wiederholen vor der Klassenarbeit, am Handy oder ausgedruckt.

PDF (1 Seite) Zum Bereich Zahlen, Potenzen und Wurzeln

Zahlen und Teiler

Zahlenmengen: \(\mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q} \subset \mathbf{R}\); natürliche, ganze, rationale, reelle Zahlen
Teilbarkeitsregeln: \(2: \text{ letzte Ziffer gerade} \quad 3, 9: \text{ Quersumme} \quad 5: \text{ Endziffer } 0, 5\)
Weitere Regeln: \(4: \text{ letzte zwei Ziffern} \quad 6: \text{ durch 2 und 3} \quad 10: \text{ Endziffer } 0\)
Primzahlen: \(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29, \ldots\); genau zwei Teiler: 1 und sich selbst
Primfaktorzerlegung: \(360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5\)
ggT und kgV: \(\text{ggT}(12, 18) = 6 \qquad \text{kgV}(12, 18) = 36\); ggT · kgV = a · b
Negative Zahlen: \((-) \cdot (-) = (+) \qquad 3 - (-5) = 3 + 5 = 8\)
Betrag: \(|-7| = 7\); Abstand zur 0
Quadratzahlen: \(11^{2} = 121,\ 12^{2} = 144,\ 13^{2} = 169,\ 15^{2} = 225,\ 25^{2} = 625\)

Potenzen

Potenz: \(a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\); n Faktoren
Multiplizieren und Dividieren: \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\)
Potenzieren: \((a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}\)
Gleiche Exponenten: \(a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \qquad \frac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n}\)
Null und negativ: \(a^{0} = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\)
Zehnerpotenzen: \(4{,}5 \cdot 10^{6} = 4\,500\,000 \qquad 3 \cdot 10^{-4} = 0{,}0003\)
Vorsätze: \(\text{k} = 10^{3},\ \text{M} = 10^{6},\ \text{G} = 10^{9} \quad \text{m} = 10^{-3},\ \mu = 10^{-6},\ \text{n} = 10^{-9}\)

Wurzeln

Quadratwurzel: \(\sqrt{a} = b \;\Leftrightarrow\; b^{2} = a \quad (b \geq 0)\)
Als Potenz: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}\)
Wurzelgesetze: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
Teilweise Wurzel ziehen: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
Nenner rational machen: \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Achtung: \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Logarithmen

Definition: \(\log_{a}(b) = x \;\Leftrightarrow\; a^{x} = b\)
Gesetze: \(\log(uv) = \log u + \log v \quad \log\frac{u}{v} = \log u - \log v \quad \log u^{r} = r \log u\)
Basiswechsel: \(\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}\)
Exponentialgleichung: \(2^{x} = 10 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32\)

Zahlensysteme

Dualsystem: \(1011_{2} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 = 11\)
Hexadezimal: \(\text{2F}_{16} = 2 \cdot 16 + 15 = 47\)
Römische Zahlen: \(\text{I}=1,\ \text{V}=5,\ \text{X}=10,\ \text{L}=50,\ \text{C}=100,\ \text{D}=500,\ \text{M}=1000\); IV = 4, IX = 9

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