Rechner für lineare DGL-Systeme
Gib die Matrix $A$ des Systems $\dot{\vec x} = A\vec x$ ein, also $\dot x = a\,x + b\,y$ und $\dot y = c\,x + d\,y$. Der Rechner bestimmt die Eigenwerte, ordnet den Gleichgewichtspunkt $(0 \mid 0)$ ein, stellt das Fundamentalsystem auf und löst auf Wunsch das Anfangswertproblem. Das Phasenporträt zeigt, wie die Lösungen verlaufen.
Ergebnis
Für das System $\begin{cases} \dot x = -x - 2y \\ \dot y = 2x - y \end{cases}$, also $\dot{\vec x} = A\vec x$ mit $A = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$:
Rechenweg
Spur, Determinante, Diskriminante
Die Eigenwerte sind die Lösungen von $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\,\lambda + \det A = 0$:
\[\operatorname{sp}(A) = a_{11} + a_{22} = -2\]\[\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 5\]\[\Delta = \operatorname{sp}(A)^2 - 4\det A = -16\]Eigenwerte
Die Diskriminante ist negativ – die Eigenwerte sind komplex.
\[\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta\,i \text{ mit } \alpha = -1,\ \beta = 2\]Typ des Gleichgewichtspunkts (0 | 0)
Komplexe Eigenwerte mit Realteil α = sp(A)/2 < 0: die Bahnen drehen sich spiralförmig in den Ursprung. Ergebnis: <strong>Strudel (Spiralpunkt)</strong>, asymptotisch stabil.
Fundamentalsystem und allgemeine Lösung
Der komplexe Eigenvektor $\vec v = \vec u + i\,\vec w$ mit $\vec u = \begin{pmatrix}-2 \\ 0\end{pmatrix}$, $\vec w = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}$ liefert über $e^{(\alpha + i\beta)t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)$ zwei reelle Lösungen (Real- und Imaginärteil).
\[\vec x(t) = C_1 \begin{pmatrix}-2\,\mathrm{e}^{-t}\,\cos\left(2\,t\right) \\ -2\,\mathrm{e}^{-t}\,\sin\left(2\,t\right)\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}-2\,\mathrm{e}^{-t}\,\sin\left(2\,t\right) \\ 2\,\mathrm{e}^{-t}\,\cos\left(2\,t\right)\end{pmatrix}\]Probe
Einsetzen bestätigt: Beide Basislösungen erfüllen $\dot{\vec x} = A\vec x$.
Anfangswert $\vec x(0) = (1 \mid 1)$
Bei t = 0 sind die Basislösungen \begin{pmatrix}-2 \\ 0\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}. Aus $C_1 \begin{pmatrix}-2 \\ 0\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} = \vec x(0)$ folgt:
\[C_1 = -\frac{1}{2},\quad C_2 = \frac{1}{2}\]\[x(t) = -\mathrm{e}^{-t}\,\left(\sin\left(2\,t\right) - \cos\left(2\,t\right)\right)\]\[y(t) = \mathrm{e}^{-t}\,\left(\sin\left(2\,t\right) + \cos\left(2\,t\right)\right)\]Probe zum Zeitpunkt t = 1
Formel: $\vec x(1) \approx (-0{,}4876 \mid 0{,}18142)$, Runge-Kutta (1000 Schritte): $(-0{,}4876 \mid 0{,}18142)$.
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Eigenwerte | Aus $\operatorname{sp} A$ und $\det A$ entsteht $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\lambda + \det A = 0$; die Diskriminante $\Delta$ entscheidet zwischen zwei reellen, einem doppelten und zwei komplexen Eigenwerten. |
| Typ | Sattel ($\det < 0$), Knoten ($\Delta > 0$), Strudel ($\Delta < 0$), Zentrum ($\operatorname{sp} = 0$), Stern bzw. entarteter Knoten ($\Delta = 0$); stabil, wenn alle Realteile negativ sind. |
| Fundamentalsystem | Eigenvektoren bzw. Hauptvektor (doppelter Eigenwert) oder Real- und Imaginärteil der komplexen Lösung. Zur Probe werden beide Basislösungen in $\dot{\vec x} = A\vec x$ eingesetzt. |
| Anfangswert | $C_1$ und $C_2$ aus einem linearen Gleichungssystem; das Ergebnis wird bei $t = 1$ mit dem Runge-Kutta-Verfahren verglichen. |
Die Erklärung mit Beispielen und Übungen findest Du unter Lineare DGL-Systeme – dort gibt es auch ein interaktives Phasenporträt für nichtlineare Systeme. Eigenwerte größerer Matrizen berechnet der Eigenwert-Rechner, einzelne Differentialgleichungen der DGL-Rechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem bei Wikipedia