Rechner für lineare DGL-Systeme
Gib die Matrix $A$ des Systems $\dot{\vec x} = A\vec x$ ein, also $\dot x = a\,x + b\,y$ und $\dot y = c\,x + d\,y$. Der Rechner bestimmt die Eigenwerte, ordnet den Gleichgewichtspunkt $(0 \mid 0)$ ein, stellt das Fundamentalsystem auf und löst auf Wunsch das Anfangswertproblem. Das Phasenporträt zeigt, wie die Lösungen verlaufen.
Ergebnis
Für das System $\begin{cases} \dot x = -2x + y \\ \dot y = x - 2y \end{cases}$, also $\dot{\vec x} = A\vec x$ mit $A = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$:
Rechenweg
Spur, Determinante, Diskriminante
Die Eigenwerte sind die Lösungen von $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\,\lambda + \det A = 0$:
\[\operatorname{sp}(A) = a_{11} + a_{22} = -4\]\[\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 3\]\[\Delta = \operatorname{sp}(A)^2 - 4\det A = 4\]Eigenwerte
Die Diskriminante ist positiv – zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
\[\lambda_{1,2} = \frac{\operatorname{sp}(A) \pm \sqrt{\Delta}}{2}:\quad \lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = -3\]Typ des Gleichgewichtspunkts (0 | 0)
Beide Eigenwerte sind reell mit gleichem Vorzeichen (det A > 0, Δ > 0). Beide negativ: alle Bahnen laufen in den Ursprung. Ergebnis: <strong>Knoten</strong>, asymptotisch stabil.
Fundamentalsystem und allgemeine Lösung
Zu jedem Eigenwert gehört eine Eigenrichtung: $\vec v_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$, $\vec v_2 = \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$ (aus $(A - \lambda E)\,\vec v = \vec 0$). Jede Lösung ist eine Kombination von $e^{\lambda_1 t}\vec v_1$ und $e^{\lambda_2 t}\vec v_2$.
\[\vec x(t) = C_1 \begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-t} \\ \mathrm{e}^{-t}\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-3\,t} \\ -\mathrm{e}^{-3\,t}\end{pmatrix}\]Probe
Einsetzen bestätigt: Beide Basislösungen erfüllen $\dot{\vec x} = A\vec x$.
Anfangswert $\vec x(0) = (2 \mid 0)$
Bei t = 0 sind die Basislösungen \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}. Aus $C_1 \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} = \vec x(0)$ folgt:
\[C_1 = 1,\quad C_2 = 1\]\[x(t) = \mathrm{e}^{-t} + \mathrm{e}^{-3\,t}\]\[y(t) = \mathrm{e}^{-t} - \mathrm{e}^{-3\,t}\]Probe zum Zeitpunkt t = 1
Formel: $\vec x(1) \approx (0{,}41767 \mid 0{,}31809)$, Runge-Kutta (1000 Schritte): $(0{,}41767 \mid 0{,}31809)$.
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Eigenwerte | Aus $\operatorname{sp} A$ und $\det A$ entsteht $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\lambda + \det A = 0$; die Diskriminante $\Delta$ entscheidet zwischen zwei reellen, einem doppelten und zwei komplexen Eigenwerten. |
| Typ | Sattel ($\det < 0$), Knoten ($\Delta > 0$), Strudel ($\Delta < 0$), Zentrum ($\operatorname{sp} = 0$), Stern bzw. entarteter Knoten ($\Delta = 0$); stabil, wenn alle Realteile negativ sind. |
| Fundamentalsystem | Eigenvektoren bzw. Hauptvektor (doppelter Eigenwert) oder Real- und Imaginärteil der komplexen Lösung. Zur Probe werden beide Basislösungen in $\dot{\vec x} = A\vec x$ eingesetzt. |
| Anfangswert | $C_1$ und $C_2$ aus einem linearen Gleichungssystem; das Ergebnis wird bei $t = 1$ mit dem Runge-Kutta-Verfahren verglichen. |
Die Erklärung mit Beispielen und Übungen findest Du unter Lineare DGL-Systeme – dort gibt es auch ein interaktives Phasenporträt für nichtlineare Systeme. Eigenwerte größerer Matrizen berechnet der Eigenwert-Rechner, einzelne Differentialgleichungen der DGL-Rechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem bei Wikipedia