Rechner für lineare DGL-Systeme
Gib die Matrix $A$ des Systems $\dot{\vec x} = A\vec x$ ein, also $\dot x = a\,x + b\,y$ und $\dot y = c\,x + d\,y$. Der Rechner bestimmt die Eigenwerte, ordnet den Gleichgewichtspunkt $(0 \mid 0)$ ein, stellt das Fundamentalsystem auf und löst auf Wunsch das Anfangswertproblem. Das Phasenporträt zeigt, wie die Lösungen verlaufen.
Ergebnis
Für das System $\begin{cases} \dot x = x + 2y \\ \dot y = 3x \end{cases}$, also $\dot{\vec x} = A\vec x$ mit $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 0\end{pmatrix}$:
Rechenweg
Spur, Determinante, Diskriminante
Die Eigenwerte sind die Lösungen von $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\,\lambda + \det A = 0$:
\[\operatorname{sp}(A) = a_{11} + a_{22} = 1\]\[\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = -6\]\[\Delta = \operatorname{sp}(A)^2 - 4\det A = 25\]Eigenwerte
Die Diskriminante ist positiv – zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
\[\lambda_{1,2} = \frac{\operatorname{sp}(A) \pm \sqrt{\Delta}}{2}:\quad \lambda_1 = 3,\ \lambda_2 = -2\]Typ des Gleichgewichtspunkts (0 | 0)
Wegen det A < 0 haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen: In einer Richtung laufen die Bahnen auf (0 | 0) zu, in der anderen weg. Ergebnis: <strong>Sattelpunkt</strong>, instabil.
Fundamentalsystem und allgemeine Lösung
Zu jedem Eigenwert gehört eine Eigenrichtung: $\vec v_1 = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}$, $\vec v_2 = \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}$ (aus $(A - \lambda E)\,\vec v = \vec 0$). Jede Lösung ist eine Kombination von $e^{\lambda_1 t}\vec v_1$ und $e^{\lambda_2 t}\vec v_2$.
\[\vec x(t) = C_1 \begin{pmatrix}2\,\mathrm{e}^{3\,t} \\ 2\,\mathrm{e}^{3\,t}\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}2\,\mathrm{e}^{-2\,t} \\ -3\,\mathrm{e}^{-2\,t}\end{pmatrix}\]Probe
Einsetzen bestätigt: Beide Basislösungen erfüllen $\dot{\vec x} = A\vec x$.
Anfangswert $\vec x(0) = (1 \mid 0)$
Bei t = 0 sind die Basislösungen \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}. Aus $C_1 \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix} = \vec x(0)$ folgt:
\[C_1 = \frac{3}{10},\quad C_2 = \frac{1}{5}\]\[x(t) = \frac{\mathrm{e}^{-2\,t}\,\left(3\,\mathrm{e}^{5\,t} + 2\right)}{5}\]\[y(t) = \frac{\mathrm{e}^{-2\,t}\,\left(3\,\mathrm{e}^{5\,t} - 3\right)}{5}\]Probe zum Zeitpunkt t = 1
Formel: $\vec x(1) \approx (12{,}10546 \mid 11{,}97012)$, Runge-Kutta (1000 Schritte): $(12{,}10546 \mid 11{,}97012)$.
So rechnet der Rechner
| Schritt | Was passiert |
|---|---|
| Eigenwerte | Aus $\operatorname{sp} A$ und $\det A$ entsteht $\lambda^2 - \operatorname{sp}(A)\lambda + \det A = 0$; die Diskriminante $\Delta$ entscheidet zwischen zwei reellen, einem doppelten und zwei komplexen Eigenwerten. |
| Typ | Sattel ($\det < 0$), Knoten ($\Delta > 0$), Strudel ($\Delta < 0$), Zentrum ($\operatorname{sp} = 0$), Stern bzw. entarteter Knoten ($\Delta = 0$); stabil, wenn alle Realteile negativ sind. |
| Fundamentalsystem | Eigenvektoren bzw. Hauptvektor (doppelter Eigenwert) oder Real- und Imaginärteil der komplexen Lösung. Zur Probe werden beide Basislösungen in $\dot{\vec x} = A\vec x$ eingesetzt. |
| Anfangswert | $C_1$ und $C_2$ aus einem linearen Gleichungssystem; das Ergebnis wird bei $t = 1$ mit dem Runge-Kutta-Verfahren verglichen. |
Die Erklärung mit Beispielen und Übungen findest Du unter Lineare DGL-Systeme – dort gibt es auch ein interaktives Phasenporträt für nichtlineare Systeme. Eigenwerte größerer Matrizen berechnet der Eigenwert-Rechner, einzelne Differentialgleichungen der DGL-Rechner.
Weiterlesen: Eigenwertproblem bei Wikipedia