Laplace-Rechner
Wähle, was Du berechnen möchtest: die Laplace-Transformierte $F(s)$ einer Funktion $f(t)$, die Originalfunktion zu einer Bildfunktion $F(s)$ oder die Lösung eines Anfangswertproblems $a\,y'' + b\,y' + c\,y = r(t)$. Jeder Weg wird Schritt für Schritt gezeigt und zum Schluss geprüft.
Ergebnis
Originalfunktion zu $F(s) = e^{-2s}\cdot \frac{1}{s^{2}}$:
Rechenweg
Faktor e^(−as): Verschiebungssatz
Ein Faktor $e^{-as}$ bedeutet eine Verschiebung um $a$ nach rechts: Ist $g(t)$ die Originalfunktion zu $G(s)$, dann gehört $e^{-as}G(s)$ zu $u(t - a)\,g(t - a)$. Dabei ist $u$ die Sprungfunktion ($u(t) = 0$ für $t < 0$, $u(t) = 1$ für $t \ge 0$). Transformiere also zuerst nur $G(s)$ zurück:
\[G(s) = \frac{1}{s^{2}}\]Nenner zerlegen
Die Nullstellen des Nenners (die Pole) bestimmen, welche Bausteine in $f(t)$ vorkommen: reelle Pole $s = a$ geben $e^{at}$, Paare $s = \alpha \pm \omega i$ geben $e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ und $e^{\alpha t}\sin(\omega t)$, mehrfache Pole zusätzlich Faktoren $t, t^2, \ldots$
\[G(s) = \frac{1}{s^{2}}\]Partialbruchzerlegung
Zerlege in einfache Brüche (Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten, Koeffizientenvergleich bzw. Einsetzen der Pole):
\[G(s) = \frac{1}{s^{2}}\]Jeden Bruch zurücktransformieren
Mit der Korrespondenztabelle (quadratische Nenner vorher quadratisch ergänzen: $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$, dann Dämpfungssatz):
\[\text{"1/s^2}\;\longmapsto\; \text{t"}\]Ergebnis
Zurückverschieben um $2$:
\[f(t) = u(t - 2)\cdot \left(t - 2\right)\]Probe
Numerisch: $\int_0^\infty e^{-1,5t}\,g(t)\,\mathrm{d}t \approx 0{,}444444$ und $G(1{,}5) \approx 0{,}444444$ – passt.
So rechnet der Rechner
| Modus | Vorgehen |
|---|---|
| f(t) → F(s) | Summe in Summanden zerlegen (Linearität), jeden Summanden mit Tabelle bzw. Dämpfungssatz transformieren, Ergebnis numerisch mit $\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$ prüfen. |
| F(s) → f(t) | Nenner zerlegen, Partialbrüche, jeden Bruch zurück; ein Faktor $e^{-as}$ vorne wird mit dem Verschiebungssatz zu $u(t - a)\,g(t - a)$. |
| Anfangswertproblem | Ableitungssatz einsetzen, nach $Y(s)$ auflösen, Partialbrüche, zurücktransformieren, Probe durch Einsetzen in die Gleichung. |
Tipp
Die Pole von $F(s)$ – die Nullstellen des Nenners – verraten schon vorher, wie $f(t)$ aussieht: Pole links von 0 ($s < 0$) gehören zu abklingenden Anteilen, Pole rechts davon zu wachsenden, rein imaginäre Paare $\pm\omega i$ zu ungedämpften Schwingungen.
Die Erklärung mit Korrespondenztabelle, Rechenregeln und Übungen findest Du unter Laplace-Transformation. Für Partialbrüche allein gibt es die Seite Partialbruchzerlegung, für Differentialgleichungen ohne Laplace den DGL-Rechner.
Weiterlesen: Laplace-Transformation bei Wikipedia