Wähle, was Du berechnen möchtest: die Laplace-Transformierte $F(s)$ einer Funktion $f(t)$, die Originalfunktion zu einer Bildfunktion $F(s)$ oder die Lösung eines Anfangswertproblems $a\,y'' + b\,y' + c\,y = r(t)$. Jeder Weg wird Schritt für Schritt gezeigt und zum Schluss geprüft.
Ergebnis
Laplace-Transformierte von $f(t) = \mathrm{e}^{t}\,\cos\left(2\,t\right)$:
Zusammengefasst (das Integral existiert für $s > 1$):
\[F(s) = \frac{s - 1}{s^{2} - 2\,s + 5}\]
Probe
Numerisch berechnet: $\int_0^\infty e^{-2,5t} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 0{,}24$ – das stimmt mit $F(2{,}5) \approx 0{,}24$ überein.
Die Originalfunktion f(t) für 0 ≤ t ≤ 6 – die Laplace-Transformation benutzt nur Werte mit t ≥ 0.
So rechnet der Rechner
Modus
Vorgehen
f(t) → F(s)
Summe in Summanden zerlegen (Linearität), jeden Summanden mit Tabelle bzw. Dämpfungssatz transformieren, Ergebnis numerisch mit $\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$ prüfen.
F(s) → f(t)
Nenner zerlegen, Partialbrüche, jeden Bruch zurück; ein Faktor $e^{-as}$ vorne wird mit dem Verschiebungssatz zu $u(t - a)\,g(t - a)$.
Anfangswertproblem
Ableitungssatz einsetzen, nach $Y(s)$ auflösen, Partialbrüche, zurücktransformieren, Probe durch Einsetzen in die Gleichung.
Tipp
Die Pole von $F(s)$ – die Nullstellen des Nenners – verraten schon vorher, wie $f(t)$ aussieht: Pole links von 0 ($s < 0$) gehören zu abklingenden Anteilen, Pole rechts davon zu wachsenden, rein imaginäre Paare $\pm\omega i$ zu ungedämpften Schwingungen.
Die Erklärung mit Korrespondenztabelle, Rechenregeln und Übungen findest Du unter Laplace-Transformation. Für Partialbrüche allein gibt es die Seite Partialbruchzerlegung, für Differentialgleichungen ohne Laplace den DGL-Rechner.