Funktionen
Eine Funktion beschreibt, wie eine Größe von einer anderen abhängt: der Preis von der Menge, die Strecke von der Zeit, die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge. In der Mathematik schreibt man das kurz als $f(x) = \ldots$
Was ist eine Funktion?
Merke
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet.
Man liest $f(x)$ als „f von x“. $x$ heißt Argument oder Eingabewert, $f(x)$ der Funktionswert.
Beispiel: Eis kaufen
Eine Kugel Eis kostet 1,50 €. Der Preis hängt von der Anzahl $x$ der Kugeln ab: $f(x) = 1{,}5x$. Für 3 Kugeln zahlst Du $f(3) = 1{,}5 \cdot 3 = 4{,}50$ €. Zu jeder Anzahl gehört genau ein Preis – das ist eine Funktion.
Funktionswerte berechnen
Um $f(x)$ für eine bestimmte Zahl auszurechnen, setzt Du die Zahl überall für $x$ ein. Negative Zahlen setzt Du in Klammern:
Wertetabelle und Graph
Berechnest Du mehrere Funktionswerte, erhältst Du eine Wertetabelle. Jedes Paar $(x \mid y)$ ist ein Punkt im Koordinatensystem. Verbindest Du die Punkte, entsteht der Graph der Funktion.
| $x$ | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x) = x^2 - 2x - 3$ | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Das Koordinatensystem
Die waagerechte Achse ist die x-Achse (Rechtsachse), die senkrechte die y-Achse (Hochachse). Sie schneiden sich im Ursprung $O(0 \mid 0)$. Ein Punkt $P(3 \mid 2)$ liegt 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten oben. Zuerst kommt immer der x-Wert: „erst laufen, dann springen“.
Wichtige Begriffe
- Nullstelle: eine Stelle $x_0$ mit $f(x_0) = 0$ – dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.
- y-Achsenabschnitt: der Funktionswert $f(0)$ – dort schneidet der Graph die y-Achse.
- Definitionsmenge $\mathbb{D}$: alle $x$-Werte, die man einsetzen darf. Bei $f(x) = \frac{1}{x}$ ist $x = 0$ verboten.
- Wertemenge $\mathbb{W}$: alle $y$-Werte, die herauskommen können. Bei $f(x) = x^2$ sind das nur Zahlen $\geq 0$.
Keine Funktion
Ein Kreis ist kein Funktionsgraph: Zu $x = 0$ gehören zwei Punkte (oben und unten). Test: Jede senkrechte Linie darf den Graphen höchstens einmal schneiden.
Die wichtigsten Funktionstypen
Lineare Funktion
$f(x) = mx + b$
Quadratische Funktion
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Exponentialfunktion
$f(x) = a \cdot b^x$
Sinusfunktion
$f(x) = \sin(x)$
Potenzfunktion
$f(x) = a \cdot x^n$
Ganzrationale Funktion
$f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$
Jede Funktion kannst Du Dir mit dem Funktionsplotter zeichnen lassen – auch mehrere gleichzeitig. Wie sich ein Graph durch Verschieben, Strecken und Spiegeln verändert, probierst Du mit Schiebereglern unter Funktionen verschieben und strecken aus; wie man eine Zuordnung rückwärts liest, zeigt die Umkehrfunktion.
Online üben: Funktionswerte
Stufe 1: lineare Funktionen
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Aufgabe 1
\(f(x) = x + 6:\quad f(5)\)\(f(5) = 11\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = -3x - 5:\quad f(-2)\)\(f(-2) = 1\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = -5x + 3:\quad f(2)\)\(f(2) = -7\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = -4x - 7:\quad f(-4)\)\(f(-4) = 9\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = -x + 3:\quad f(-5)\)\(f(-5) = 8\)
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Aufgabe 6
\(f(x) = -x + 6:\quad f(-3)\)\(f(-3) = 9\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Funktionswerte berechnen
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 7–9.
Erklärungen
Online-Rechner
Spickzettel: Funktionen
Die wichtigsten Regeln, Formeln und Beispiele auf einer DIN-A4-Seite – zum Ausdrucken, Lernen und Nachschlagen.
Arbeitsblätter zum Ausdrucken
Weiterlesen: Funktion (Mathematik) bei Wikipedia