Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 13 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
In ein leeres Becken läuft Wasser. Die Zuflussrate in Litern pro Minute beträgt r(t) = 0,5 · t · (6 − t) für 0 ≤ t ≤ 6 (t in Minuten). Danach wird der Zufluss geschlossen. Tipp: Die Zuflussrate sagt, wie schnell Wasser kommt. Wie viel Wasser insgesamt gekommen ist, liefert das Integral.
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2 P.
Wie groß ist die Zuflussrate nach 1 Minuten?l/minLösung: \(r(1) = 2{,}5\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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3 P.
Zu welchem Zeitpunkt fließt am meisten Wasser zu?minLösung: \(r'(t) = 0{,}5 \cdot (6 - 2t)\) \(= 0\) \(\Rightarrow\; t = 3\,\text{min}\)
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2 P.
Wie groß ist die größte Zuflussrate?l/minLösung: \(r(3) = 4{,}5\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}\)
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3 P.
Wie viele Liter sind nach 6 Minuten im Becken?lLösung: \(\int_{0}^{6} r(t)\,dt\) \(= 0{,}5 \cdot \left[6\tfrac{t^2}{2} - \tfrac{t^3}{3}\right]_0^{6}\) \(= 18\,\text{l}\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 50 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 50 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,5 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,5 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hatLösung: \(E(X) = 50 \cdot 0{,}5 = 25\)
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4 P.
Bis zu wie vielen Befürwortern wird \(H_0\) abgelehnt?Lösung: \(P(X \leq 18)\) \(\approx 0{,}0325\) \(\leq 0{,}05,\) \(P(X \leq 19)\) \(\approx 0{,}0595\) \(> 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 18\}\)
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2 P.
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 18) \approx 0{,}0325\)
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3 P.
In Wahrheit sind nur 40 % dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}4}(X \geq 19)\) \(= 1 - P(X \leq 18)\) \(\approx 0{,}6644\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|1) + t · (4|8|1), die von Flugzeug F₂ ist (40|10|5) + t · (-7|2|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
Geschwindigkeit von \(F_1\) in km/hkm/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{16 + 64 + 1}\) \(= 9\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}}\) \(\Rightarrow\; 540\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
Steigungswinkel von \(F_1\) gegenüber dem Boden (2 Stellen)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 6{,}38^\circ\)
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2 P.
Wo ist \(F_1\) nach 5 Minuten?Lösung: \((0|0|1) + 5 \cdot (4|8|1)\) \(= (20|40|6)\)
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2 P.
Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)minLösung: \(d(t)^2 = |(-40|-10|-4) + t \cdot (11|6|1)|^2 \text{ minimal}\) \(\Rightarrow\; t = 3{,}19\,\text{min}\)
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2 P.
Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)kmLösung: \(d(3{,}19) \approx 10{,}41\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.