Mathe-Check Statistische Tests
Klasse 13 · Für Studienanfänger und Leistungskurse: t-Test und Konfidenzintervall, χ²-Test und exakter Test nach Fisher, Rangtests (U-Test, Wilcoxon, Kruskal-Wallis) und Rangkorrelation.
- 9 Aufgaben
- 32 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Testgröße beim t-Test (je 3 P.)
Berechne die Testgröße t = (x̄ − μ₀) : (s/√n) auf 2 Nachkommastellen. Bei Rohdaten erst x̄ und s (mit n − 1) bestimmen. Die Entscheidung steht in der Lösung.
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\(n = 36,\) \(\overline{x} = 516{,}4,\) \(s = 21{,}4,\) \(H_0\!: \mu = 510\) (zweiseitig, \(\alpha = 5\,\%\)): Testgröße \(t\text{?}\)\(t \approx\)Lösung: \(t = \tfrac{516{,}4 - 510}{21{,}4 / 6}\) \(\approx 1{,}79;\) \(t_{35;\,0{,}975}\) \(\approx 2{,}03\) \(\Rightarrow\; H_0\) nicht ablehnen
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\(n = 30,\) \(\overline{x} = 12{,}6,\) \(s = 6{,}2,\) \(H_0\!: \mu = 20\) (zweiseitig, \(\alpha = 5\,\%\)): Testgröße \(t\text{?}\)\(t \approx\)Lösung: \(t = \tfrac{12{,}6 - 20}{6{,}2 / \sqrt{30}}\) \(\approx -6{,}54;\) \(t_{29;\,0{,}975}\) \(\approx 2{,}045\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen
Aufgabe 2: Konfidenzintervall mit t (4 P.)
Konfidenzintervall für μ: x̄ ± t · s : √n mit dem angegebenen t-Quantil. Online untere und obere Grenze mit „;“ getrennt, auf 2 Nachkommastellen.
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\(n = 6,\) \(\overline{x} = 69{,}6,\) \(s = 4,\) \(t_{5;\,0{,}975}\) \(= 2{,}571\). 95-%-Konfidenzintervall für \(\mu\text{?}\)\(\text{untere};\ \text{obere Grenze}\)Lösung: \(SE = \tfrac{4}{\sqrt{6}}\) \(\approx 1{,}633;\) \(69{,}6 \pm 2{,}571 \cdot 1{,}633:\ [65{,}4;\ 73{,}8]\)
Aufgabe 3: Unabhängigkeitstest (4 P.)
Vierfeldertafel (a b | c d): χ² = N · (a·d − b·c)² : ((a + b)(c + d)(a + c)(b + d)), auf 2 Nachkommastellen. Kritischer Wert bei α = 5 %: 3,841.
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Sportler: \(56 \text{ bzw. } 10\); Nichtsportler: \(55 \text{ bzw. } 65\) (erkältet bzw. nicht erkältet). \(\chi^2\text{?}\)\(\chi^2 \approx\)Lösung: \(\chi^2 = \tfrac{186 \cdot (56 \cdot 65 - 10 \cdot 55)^2}{66 \cdot 120 \cdot 111 \cdot 75}\) \(\approx 26{,}94\) \(\Rightarrow\) abhängig ( \(H_0\) ablehnen)
Aufgabe 4: Exakter Test nach Fisher (3 P.)
Vierfeldertafel mit a, b (Zeile 1) und c, d (Zeile 2). Wahrscheinlichkeit dieser Tafel bei festen Randsummen: P = C(a + b; a) · C(c + d; c) : C(N; a + c). Ergebnis auf 4 Nachkommastellen.
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\(a = 3,\) \(b = 3,\) \(c = 4,\) \(d = 6\text{. } P(\)diese Tafel\()\text{?}\)\(P \approx\)Lösung: \(P = \tfrac{\binom{6}{3} \binom{10}{4}}{\binom{16}{7}}\) \(= \tfrac{20 \cdot 210}{11440}\) \(\approx 0{,}3671\)
Aufgabe 5: Mann-Whitney-U-Test (4 P.)
Alle Werte gemeinsam ordnen, Ränge vergeben (1 = kleinster Wert), Rangsumme R₁ der Gruppe 1 bilden, U₁ und U₂ berechnen. Gesucht ist U = min(U₁; U₂). Zweiseitig mit α = 5 % wird abgelehnt, wenn U höchstens der kritische Wert ist (steht in der Lösung).
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Gruppe 1: \(34;\) \(55;\) \(49;\) \(52;\) \(40;\) \(60\); Gruppe 2: \(20;\) \(43;\) \(37;\) \(15;\) \(47;\) \(10\text{. } U = \min(U_1;\ U_2)\text{?}\)\(U =\)Lösung: Ränge der Gruppe 1: \(4;\) \(6;\) \(9;\) \(10;\) \(11;\) \(12;\) \(R_1 = 52;\) \(U_1 = 52 - 21\) \(= 31,\) \(U_2 = 5;\) \(U = 5;\) \(U_{\text{krit}} = 5\) \(\Rightarrow\; H_0\) ablehnen
Aufgabe 6: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (4 P.)
Differenzen bilden (vorher − nachher), Beträge ordnen, Ränge vergeben, W⁺ und W⁻ addieren. Gesucht ist W = min(W⁺; W⁻). Zweiseitig mit α = 5 % wird abgelehnt, wenn W höchstens der kritische Wert ist (steht in der Lösung).
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\(\text{Vorher: } 51;\) \(48;\) \(68;\) \(90;\) \(46;\) \(85\); nachher: \(58;\) \(40;\) \(72;\) \(85;\) \(32;\) \(75\). Mit \(d = \text{vorher} - \text{nachher}\text{: } W\) \(= \min(W^+;\ W^-)\text{?}\)\(W =\)Lösung: \(d\!:\ -7;\) \(8;\) \(-4;\) \(5;\) \(14;\) \(10;\) \(W^+ = 17,\) \(W^- = 4;\) \(W = 4;\) \(W_{\text{krit}} = 0\) \(\Rightarrow\; H_0\) nicht ablehnen
Aufgabe 7: Kruskal-Wallis-Test (3 P.)
H = 12 : (N(N + 1)) · Σ R_j² : n_j − 3(N + 1). Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.
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\(n_1 = 7,\) \(n_2 = 7,\) \(n_3 = 4;\) \(R_1 = 34,\) \(R_2 = 77,\) \(R_3 = 60\text{. } H\text{?}\)\(H \approx\)Lösung: \(N = 18;\) \(H = \tfrac{12}{18 \cdot 19} \left(\tfrac{34^2}{7} + \tfrac{77^2}{7} + \tfrac{60^2}{4}\right) - 3 \cdot 19\) \(\approx 10{,}09\)
Aufgabe 8: Rangkorrelation nach Spearman (4 P.)
x-Werte und y-Werte getrennt ordnen, Ränge vergeben, Rangdifferenzen d quadrieren und addieren, dann r_s berechnen (3 Nachkommastellen).
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\(x\!:\ 4;\) \(30;\) \(27;\) \(12;\) \(23;\) \(y\!:\ 58;\) \(34;\) \(55;\) \(60;\) \(19\) (paarweise). \(r_s\text{?}\)\(r_s \approx\)Lösung: \(\text{Ränge } x\!:\ 1;\) \(5;\) \(4;\) \(2;\) \(3;\) \(y\!:\ 4;\) \(2;\) \(3;\) \(5;\) \(1;\) \(\sum d^2 = 32;\) \(r_s = 1 - \tfrac{6 \cdot 32}{120}\) \(\approx -0{,}6\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.