Probe-Klausur Beurteilende Statistik
Klasse 12–13 · Sigma-Regeln, Prognose- und Konfidenzintervall, Hypothesentest mit Fehlern 1. und 2. Art.
- 13 Aufgaben
- 36 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Erwartungswert, Standardabweichung, Laplace-Bedingung (je 3 P.)
X ist binomialverteilt mit n und p. Berechne Erwartungswert μ = n·p und Standardabweichung σ = √(n·p·(1 − p)) (σ auf zwei Nachkommastellen) bzw. prüfe die Laplace-Bedingung σ > 3.
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\(n = 100,\) \(p = 0{,}85:\) \(\mu = ?,\) \(\sigma = ?\)Lösung: \(\mu = 85;\) \(\sigma = \sqrt{12{,}75}\) \(\approx 3{,}57\)
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\(n = 240,\) \(p = 0{,}85:\) \(\mu = ?,\) \(\sigma = ?\)Lösung: \(\mu = 204;\) \(\sigma = \sqrt{30{,}6}\) \(\approx 5{,}53\)
Aufgabe 2: Sigma-Umgebung und Prognoseintervall (je 3 P.)
Bestimme die Intervalle mit den Sigma-Regeln (Grenzen auf zwei Nachkommastellen, bei relativen Häufigkeiten auf drei) bzw. die Wahrscheinlichkeit der σ-Umgebung.
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\(n = 400,\) \(p = 0{,}2:\) \(95\,\%\)-Prognoseintervall\(\text{ für } h\)Lösung: \([\,0{,}161;\ 0{,}239\,]\)
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\(P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx \;?\) (in Prozent, Sigma-Regel)%Lösung: \(\approx 99{,}7\,\%\)
Aufgabe 3: Konfidenzintervall (je 4 P.)
Bestimme das Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p mit der Näherung h ± c·√(h·(1 − h)/n) (Grenzen auf drei Nachkommastellen).
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\(n = 600,\) \(k = 431\ (h = 0{,}7183):\) \(99\,\%\)-Konfidenzintervall für \(p\)Lösung: \([\,0{,}671;\ 0{,}766\,]\)
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\(n = 300,\) \(k = 128:\) \(\text{Liegt } p_0\) \(= 0{,}47\text{ im } 95\,\%\)-Konfidenzintervall?Lösung: \([\,0{,}371;\ 0{,}483\,]:\ \text{ja}\)
Aufgabe 4: Hypothesen aufstellen (2 P.)
Entscheide, ob ein rechtsseitiger, linksseitiger oder zweiseitiger Test passt, und stelle die Hypothesen H₀ und H₁ auf. Was nachgewiesen werden soll, gehört in H₁. Online tippst Du nur die Testart ein: rechtsseitig, linksseitig oder zweiseitig.
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Händler: „Mindestens \(95\,\%\) der Samen keimen.“ Ein Gärtner zweifelt.Lösung: linksseitig: \(H_0\!: p \geq 0{,}95,\) \(H_1\!: p < 0{,}95\)
Aufgabe 5: Ablehnungsbereich (4 P.)
Bestimme die kritische Zahl mit der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder dem Taschenrechner. Rechtsseitig: das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α. Linksseitig: das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α.
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\(n = 20,\) \(H_0\!: p \leq 0{,}3,\) \(\alpha = 10\,\%\): Ab wie vielen Treffern wird \(H_0\) abgelehnt?\(k =\)Lösung: \(P(X \geq 9)\) \(\approx 0{,}1133\) \(> 0{,}1,\) \(P(X \geq 10)\) \(\approx 0{,}0480\) \(\leq 0{,}1\) \(\Rightarrow\; \overline{A} = \{10;\ 11;\ \ldots;\ 20\}\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Eine Anlage füllt Saft in Flaschen. Die Füllmenge X (in ml) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 8 ml. Tipp: Standardisiere mit z = (x − μ) : σ und lies Φ(z) in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner ab. Für „mehr als“ rechnest Du 1 − Φ(z). Werte aus der Tabelle dürfen etwas abweichen.
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2 P.
Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als \(488\) ml enthält (3 Stellen)Lösung: \(P(X < 488)\) \(= \Phi\left(\frac{488 - 500}{8}\right)\) \(= \Phi(-1{,}5)\) \(\approx 0{,}067\)
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2 P.
Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge höchstens \(8\) ml von \(\mu\) abweicht (3 Stellen)Lösung: \(P(492 \leq X \leq 508)\) \(= 2\,\Phi(1) - 1\) \(\approx 0{,}683\)
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2 P.
Wie viele von 5000 Flaschen enthalten voraussichtlich weniger als \(488\) ml? (ganze Zahl)Lösung: \(5000 \cdot 0{,}0668 \approx 334\)
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2 P.
Ab welcher Füllmenge gehört eine Flasche zu den 5 % vollsten? (1 Stelle)mlLösung: \(P(X \geq c)\) \(= 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \Phi\left(\frac{c - 500}{8}\right)\) \(= 0{,}95\) \(\Rightarrow\; \frac{c - 500}{8}\) \(\approx 1{,}645\) \(\Rightarrow\; c \approx 513{,}2\,\text{ml}\)
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2 P.
Auf welchen Wert muss \(\sigma\) sinken, damit nur 1 % der Flaschen weniger als \(488\) ml enthalten? (2 Stellen)mlLösung: \(\Phi\left(\frac{-12}{\sigma}\right)\) \(= 0{,}01\) \(\Rightarrow\; \frac{12}{\sigma} \approx 2{,}326\) \(\Rightarrow\; \sigma \approx 5{,}16\,\text{ml}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.