Probe-Klausur Beurteilende Statistik
Klasse 12–13 · Sigma-Regeln, Prognose- und Konfidenzintervall, Hypothesentest mit Fehlern 1. und 2. Art.
- 12 Aufgaben
- 36 Punkte
- 90 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Erwartungswert, Standardabweichung, Laplace-Bedingung (je 3 P.)
X ist binomialverteilt mit n und p. Berechne Erwartungswert μ = n·p und Standardabweichung σ = √(n·p·(1 − p)) (σ auf zwei Nachkommastellen) bzw. prüfe die Laplace-Bedingung σ > 3.
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\(n = 500,\) \(p = 0{,}2:\) \(\mu = ?,\) \(\sigma = ?\)Lösung: \(\mu = 100;\) \(\sigma = \sqrt{80} \approx 8{,}94\)
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\(n = 100,\) \(p = 0{,}35:\) Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\) erfüllt?Lösung: \(\sigma = \sqrt{22{,}75}\) \(\approx 4{,}77 > 3:\ \text{ja}\)
Aufgabe 2: Sigma-Umgebung und Prognoseintervall (je 3 P.)
Bestimme die Intervalle mit den Sigma-Regeln (Grenzen auf zwei Nachkommastellen, bei relativen Häufigkeiten auf drei) bzw. die Wahrscheinlichkeit der σ-Umgebung.
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\(n = 200,\) \(p = 0{,}45:\) \(90\,\%\)-Prognoseintervall\(\text{ für } h\)Lösung: \([\,0{,}392;\ 0{,}508\,]\)
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\(n = 500,\) \(p = 0{,}4:\) \(\sigma\)-Umgebung von \(\mu\text{ für } X\)Lösung: \([\,189{,}05;\ 210{,}95\,]\) \((\mu = 200,\ \sigma \approx 10{,}95)\)
Aufgabe 3: Konfidenzintervall (je 4 P.)
Bestimme das Konfidenzintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p mit der Näherung h ± c·√(h·(1 − h)/n) (Grenzen auf drei Nachkommastellen).
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\(n = 2000,\) \(k = 980\ (h = 0{,}49):\) \(95\,\%\)-Konfidenzintervall für \(p\)Lösung: \([\,0{,}468;\ 0{,}512\,]\)
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\(n = 1500,\) \(k = 882\ (h = 0{,}588):\) \(90\,\%\)-Konfidenzintervall für \(p\)Lösung: \([\,0{,}567;\ 0{,}609\,]\)
Aufgabe 4: Hypothesen aufstellen (2 P.)
Entscheide, ob ein rechtsseitiger, linksseitiger oder zweiseitiger Test passt, und stelle die Hypothesen H₀ und H₁ auf. Was nachgewiesen werden soll, gehört in H₁. Online tippst Du nur die Testart ein: rechtsseitig, linksseitig oder zweiseitig.
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Ist die Münze fair? Kopf soll mit \(50\,\%\text{ fallen.}\)Lösung: zweiseitig: \(H_0\!: p = 0{,}5,\) \(H_1\!: p \neq 0{,}5\)
Aufgabe 5: Ablehnungsbereich (4 P.)
Bestimme die kritische Zahl mit der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder dem Taschenrechner. Rechtsseitig: das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ α. Linksseitig: das größte k mit P(X ≤ k) ≤ α.
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\(n = 30,\) \(H_0\!: p \leq 0{,}7,\) \(\alpha = 5\,\%\): Ab wie vielen Treffern wird \(H_0\) abgelehnt?\(k =\)Lösung: \(P(X \geq 25)\) \(\approx 0{,}0766\) \(> 0{,}05,\) \(P(X \geq 26)\) \(\approx 0{,}0302\) \(\leq 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \overline{A} = \{26;\ 27;\ \ldots;\ 30\}\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe (10 P.)
Die Bürgermeisterin behauptet: Mindestens 70 % der Bürger sind für den neuen Radweg. Eine Zeitung befragt 100 zufällig ausgewählte Bürger. X ist die Anzahl der Befürworter. Getestet wird H₀: p ≥ 0,7 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Sind es auffällig wenige Befürworter, wird H₀ abgelehnt. Tipp: Rechne mit p = 0,7 und suche das größte k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05. Beim Fehler 2. Art behält man H₀, obwohl sie falsch ist.
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1 P.
Erwartungswert von X, wenn die Bürgermeisterin genau recht hatLösung: \(E(X) = 100 \cdot 0{,}7 = 70\)
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4 P.
Bis zu wie vielen Befürwortern wird \(H_0\) abgelehnt?Lösung: \(P(X \leq 61)\) \(\approx 0{,}034\) \(\leq 0{,}05,\) \(P(X \leq 62)\) \(\approx 0{,}053\) \(> 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \bar{A} = \{0, \dots, 61\}\)
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2 P.
Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (4 Stellen)Lösung: \(\alpha = P(X \leq 61) \approx 0{,}034\)
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3 P.
In Wahrheit sind nur 60 % dafür. Wie groß ist der Fehler 2. Art? (4 Stellen)Lösung: \(\beta = P_{p = 0{,}6}(X \geq 62)\) \(= 1 - P(X \leq 61)\) \(\approx 0{,}3822\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.