Abitur: Anwendungsaufgaben
Klasse 12–13 · Drei Aufgaben mit Text aus dem Alltag – je eine aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Ideal, um das Übersetzen in Mathe zu üben.
- 12 Aufgaben
- 30 Punkte
- 60 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Analysis (10 P.)
Ein frisch aufgegossener Tee steht in einem Raum mit 20 °C. Seine Temperatur in °C nach t Minuten beschreibt T(t) = 20 + 60 · e^(−0,04t). Tipp: Der Tee kühlt nie unter die Raumtemperatur ab – der Teil 60 · e^(…) wird nur immer kleiner. Eine negative Änderungsrate bedeutet: Die Temperatur sinkt.
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2 P.
Wie heiß ist der Tee am Anfang?°CLösung: \(T(0) = 20 + 60 \cdot e^{0}\) \(= 80\,^\circ\text{C}\)
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2 P.
Wie warm ist der Tee nach 10 Minuten? (2 Stellen)°CLösung: \(T(10) = 20 + 60 \cdot e^{-0{,}4}\) \(\approx 60{,}22\,^\circ\text{C}\)
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3 P.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee auf 45 °C abgekühlt? (2 Stellen)minLösung: \(60 \cdot e^{-0{,}04t}\) \(= 25\) \(\Rightarrow\; t = \frac{\ln(60 / 25)}{0{,}04}\) \(\approx 21{,}89\,\text{min}\)
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3 P.
Berechne die Änderungsrate \(T'(10)\) in °C pro Minute (2 Stellen).°C/minLösung: \(T'(t) = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}04t}\) \(\Rightarrow\; T'(10)\) \(\approx -1{,}61\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\)
Aufgabe 2: Stochastik (10 P.)
Eine Krankheit haben 1 % der Menschen. Ein Schnelltest zeigt bei Kranken mit 98 % Wahrscheinlichkeit „positiv“. Bei Gesunden zeigt er mit 90 % Wahrscheinlichkeit richtig „negativ“. Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Tipp: Zeichne ein Baumdiagramm (erst krank/gesund, dann positiv/negativ) und rechne mit Dezimalzahlen.
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3 P.
Berechne \(P(\text{positiv})\) (auf 4 Stellen runden).Lösung: \(0{,}01 \cdot 0{,}98 + 0{,}99 \cdot 0{,}1\) \(\approx 0{,}1088\)
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4 P.
Der Test ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person krank? (3 Stellen)Lösung: \(P_{\text{pos}}(\text{krank})\) \(= \frac{0{,}01 \cdot 0{,}98}{0{,}1088}\) \(\approx 0{,}09\)
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3 P.
Der Test ist negativ. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person gesund? (4 Stellen)Lösung: \(P_{\text{neg}}(\text{gesund})\) \(= \frac{0{,}99 \cdot 0{,}9}{0{,}8912}\) \(\approx 0{,}9998\)
Aufgabe 3: Geometrie (10 P.)
Die Position eines Flugzeugs F₁ nach t Minuten ist (0|0|2) + t · (8|4|1), die von Flugzeug F₂ ist (48|10|4) + t · (-6|4|0). Alle Angaben in km, die x₃-Achse zeigt nach oben. Tipp: Die Länge des Richtungsvektors ist die Strecke pro Minute. Den kleinsten Abstand findest Du, indem Du den Abstand d(t) der beiden Positionen aufstellst und das Minimum von d(t)² suchst.
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2 P.
Geschwindigkeit von \(F_1\) in km/hkm/hLösung: \(|\vec{u}| = \sqrt{64 + 16 + 1}\) \(= 9\,\tfrac{\text{km}}{\text{min}}\) \(\Rightarrow\; 540\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}\)
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2 P.
Steigungswinkel von \(F_1\) gegenüber dem Boden (2 Stellen)°Lösung: \(\sin\alpha = \frac{1}{9} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 6{,}38^\circ\)
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2 P.
Wo ist \(F_1\) nach 3 Minuten?Lösung: \((0|0|2) + 3 \cdot (8|4|1)\) \(= (24|12|5)\)
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2 P.
Nach wie vielen Minuten sind sich die Flugzeuge am nächsten? (2 Stellen)minLösung: \(d(t)^2 = |(-48|-10|-2) + t \cdot (14|0|1)|^2 \text{ minimal}\) \(\Rightarrow\; t = 3{,}42\,\text{min}\)
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2 P.
Wie groß ist dieser kleinste Abstand? (in km, 2 Stellen)kmLösung: \(d(3{,}42) \approx 10{,}1\,\text{km}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.