Abitur-Mix: alle drei Sachgebiete
Klasse 12–13 · Analysis, Stochastik und Geometrie gemischt – wie ein Pflichtteil ohne Hilfsmittel, dazu zwei Anwendungsaufgaben mit Sachzusammenhang.
- 19 Aufgaben
- 52 Punkte
- 120 Minuten
Leg Dir Stift und Papier bereit – gerechnet wird wie in der echten Arbeit auf dem Schmierzettel. Online trägst Du nur die Ergebnisse ein. Am Ende klickst Du auf „Abgeben“ und bekommst Deine Punkte, eine Note und alle Lösungen.
zum Beispiel bei einem Nachteilsausgleich
Aufgabe 1: Ableitungen (je 2 P.)
Bilde die erste Ableitung. Tipp: Schreibe Brüche vorher als Potenz mit negativer Hochzahl, z. B. 4/x = 4 · x^(−1).
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\(f(x) = -4\sqrt{x} - x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{x}} - 4x^{3}\)
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\(f(x) = -\frac{1}{x} - 2x^{4}\)Lösung: \(f'(x) = \frac{1}{x^{2}} - 8x^{3}\)
Aufgabe 2: Integrale (je 3 P.)
Berechne die Integrale mit einer Stammfunktion: F(b) − F(a). Gib das Ergebnis exakt (als Bruch) an.
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\(\int_{0}^{3} \left(-3x^{2}\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{3} \left(-3x^{2}\right) dx = -27\)
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\(\int_{0}^{1} \left(x^{2} + x\right) dx\)Lösung: \(\int_{0}^{1} \left(x^{2} + x\right) dx = \frac{5}{6}\)
Aufgabe 3: Steckbriefaufgabe (5 P.)
Bestimme die Funktionsgleichung aus den angegebenen Eigenschaften. H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt, W = Wendepunkt, P = Punkt auf dem Graphen.
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Grad 2: \(T\left(2 \,\middle|\, 4\right),\) \(P\left(0 \,\middle|\, 8\right)\)Lösung: \(f(x) = x^{2} - 4x + 8\)
Aufgabe 4: Normalverteilung (4 P.)
Standardisiere mit z = (x − Erwartungswert) : Standardabweichung und lies den Wert der Verteilungsfunktion ab. Runde auf 4 Nachkommastellen.
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\(P(Z \le 1{,}6)\)Lösung: \(P(Z \le 1{,}6)\) \(= \Phi(1{,}6)\) \(\approx 0{,}9452\)
Aufgabe 5: Skalarprodukt (3 P.)
Skalarprodukt: Multipliziere die Koordinaten paarweise und addiere die Produkte. Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Winkel auf zwei Nachkommastellen runden.
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\((2 \mid -1 \mid 0) \cdot (2 \mid 4 \mid -5)\)Lösung: \((2 \mid -1 \mid 0) \cdot (2 \mid 4 \mid -5)\) \(= 0\)
Aufgabe 6: Anwendungsaufgabe Analysis (10 P.)
Ein frisch aufgegossener Tee steht in einem Raum mit 20 °C. Seine Temperatur in °C nach t Minuten beschreibt T(t) = 20 + 60 · e^(−0,04t). Tipp: Der Tee kühlt nie unter die Raumtemperatur ab – der Teil 60 · e^(…) wird nur immer kleiner. Eine negative Änderungsrate bedeutet: Die Temperatur sinkt.
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2 P.
Wie heiß ist der Tee am Anfang?°CLösung: \(T(0) = 20 + 60 \cdot e^{0}\) \(= 80\,^\circ\text{C}\)
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2 P.
Wie warm ist der Tee nach 10 Minuten? (2 Stellen)°CLösung: \(T(10) = 20 + 60 \cdot e^{-0{,}4}\) \(\approx 60{,}22\,^\circ\text{C}\)
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3 P.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee auf 45 °C abgekühlt? (2 Stellen)minLösung: \(60 \cdot e^{-0{,}04t}\) \(= 25\) \(\Rightarrow\; t = \frac{\ln(60 / 25)}{0{,}04}\) \(\approx 21{,}89\,\text{min}\)
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3 P.
Berechne die Änderungsrate \(T'(10)\) in °C pro Minute (2 Stellen).°C/minLösung: \(T'(t) = -2{,}4 \cdot e^{-0{,}04t}\) \(\Rightarrow\; T'(10)\) \(\approx -1{,}61\,\tfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\)
Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe Stochastik (10 P.)
Ein Hersteller behauptet: Höchstens 20 % seiner Bauteile sind fehlerhaft. Ein Kunde prüft 100 zufällig ausgewählte Teile. X ist die Anzahl der fehlerhaften Teile. Getestet wird die Nullhypothese H₀: p ≤ 0,2 auf dem Signifikanzniveau 5 %. Findet der Kunde auffällig viele fehlerhafte Teile, glaubt er dem Hersteller nicht mehr (H₀ wird abgelehnt). Tipp: Rechne mit p = 0,2 und suche das kleinste k, für das P(X ≥ k) höchstens 0,05 ist.
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2 P.
Wie viele fehlerhafte Teile erwartet man, wenn der Hersteller recht hat?Lösung: \(E(X) = n \cdot p\) \(= 100 \cdot 0{,}2\) \(= 20\)
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2 P.
Berechne die Standardabweichung \(\sigma\) (2 Stellen).Lösung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\) \(= \sqrt{16} \approx 4\)
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4 P.
Ab wie vielen fehlerhaften Teilen wird \(H_0\) abgelehnt?Lösung: \(P(X \geq 27)\) \(\approx 0{,}0558\) \(> 0{,}05,\) \(P(X \geq 28)\) \(\approx 0{,}0342\) \(\leq 0{,}05\) \(\Rightarrow\; \bar{A} = \{28, \dots, 100\}\)
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2 P.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? (4 Stellen)Lösung: \(\alpha = P(X \geq 28)\) \(\approx 0{,}0342\) \(\text{(H}_0\) wird abgelehnt, obwohl sie stimmt)
Aufgabe 8: Anwendungsaufgabe Geometrie (10 P.)
Ein dreieckiges Sonnensegel ist an den Punkten A(8|0|0), B(0|12|0) und C(0|0|12) befestigt (Angaben in Metern). Der Boden ist die x-y-Ebene, der Ursprung O ist die Hausecke. Tipp: Den Normalenvektor des Segels bekommst Du mit dem Kreuzprodukt AB × AC. Der Winkel zum Boden ist der Winkel zwischen diesem Normalenvektor und der z-Achse.
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3 P.
Wie groß ist die Fläche des Segels? (in m\(^2\), 2 Stellen)m²Lösung: \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) \(= \begin{pmatrix}144\\96\\96\end{pmatrix},\) \(A = \tfrac{1}{2}\sqrt{39168}\) \(\approx 98{,}95\,\text{m}^2\)
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3 P.
Unter welchem Winkel ist das Segel gegen den Boden geneigt? (2 Stellen)°Lösung: \(\cos\alpha = \frac{96}{\sqrt{39168}}\) \(\Rightarrow\; \alpha \approx 60{,}98^\circ\)
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2 P.
Ein senkrechter Mast steht in \(P(2|6|0)\). In welchem Punkt trifft er das Segel?Lösung: \(\tfrac{x}{8} + \tfrac{y}{12} + \tfrac{z}{12}\) \(= 1 \text{ mit } x\) \(= 2,\) \(y = 6\) \(\Rightarrow\; S(2 \mid 6 \mid 3)\)
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2 P.
Wie weit ist die Hausecke \(O\) vom Segel entfernt? (2 Stellen)mLösung: \(d = \frac{|144 \cdot 0 + 96 \cdot 0 + 96 \cdot 0 - 1152|}{\sqrt{39168}}\) \(\approx 5{,}82\,\text{m}\)
Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Gerundete Ergebnisse dürfen etwas abweichen.
Gut zu wissen
- Anwendungsaufgaben (nur in den Probe-Klausuren) beginnen mit einem Text aus dem Alltag. Lies ihn zweimal und markiere Dir, was gegeben ist. Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf, sind aber einzeln bewertet: Wenn Du bei einer Teilaufgabe hängst, mach mit der nächsten weiter.
- Teilpunkte gibt es, wenn eine Antwort aus mehreren Teilen besteht und ein Teil stimmt – zum Beispiel eine von zwei Lösungen einer Gleichung. Für den Rechenweg kann der Computer keine Punkte vergeben. In der echten Arbeit bekommst Du dafür aber oft Punkte, auch wenn das Ergebnis nicht stimmt. Schreib Deinen Rechenweg darum immer auf!
- Gerundete Ergebnisse werden mit einer kleinen Toleranz geprüft. Brüche darfst Du als
3/4eingeben. - Deine Ergebnisse werden nur in Deinem Browser gespeichert, damit Du Deine Fortschritte siehst. Wir speichern nichts auf unserem Server.