Dreieck berechnen: Fläche, Umfang und Höhe
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks brauchst Du eine Seite und die Höhe, die senkrecht auf ihr steht. Für den Umfang addierst Du einfach alle drei Seiten. Hier lernst Du beides – auch, wie Du eine fehlende Höhe oder Seite zurückrechnest.
Die Formeln
$g$ ist die Grundseite, $h_g$ die zugehörige Höhe: der kürzeste Abstand von der gegenüberliegenden Ecke bis zur Geraden durch $g$. Warum durch 2 geteilt wird, siehst Du, wenn Du ein zweites gleiches Dreieck daneben legst: Zusammen ergeben beide ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $g \cdot h_g$ – ein Dreieck ist genau die Hälfte davon.
Beispiele
Beispiel 1: Flächeninhalt
Ein dreieckiges Segel hat die Grundseite $g = 3{,}2\,\text{m}$ und die Höhe $h_g = 5\,\text{m}$.
Beispiel 2: Höhe zurückrechnen
Ein Dreieck hat $A = 42\,\text{cm}^2$ und $g = 12\,\text{cm}$. Stelle die Formel nach $h_g$ um:
Beispiel 3: rechtwinkliges Dreieck
Beim rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten senkrecht aufeinander – eine ist Grundseite, die andere schon die Höhe. Mit den Katheten $5\,\text{cm}$ und $12\,\text{cm}$ ist $A = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30\,\text{cm}^2$. Die dritte Seite liefert der Satz des Pythagoras: $\sqrt{25 + 144} = 13\,\text{cm}$, also $U = 5 + 12 + 13 = 30\,\text{cm}$.
Welche Höhe gehört zu welcher Seite?
Jedes Dreieck hat drei Höhen – zu jeder Seite eine. Für die Flächenformel kannst Du jede Seite als Grundseite nehmen, Du musst nur die passende Höhe dazu benutzen. Das Ergebnis ist immer dasselbe: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegen zwei Höhen außerhalb. Dann verlängerst Du die Grundseite und misst den senkrechten Abstand zur Spitze. Die Formel bleibt gleich.
Typische Fehler
- Schräge Seite statt Höhe: $A = \frac{g \cdot b}{2}$ ist nur richtig, wenn $b$ senkrecht auf $g$ steht.
- Durch 2 vergessen: $g \cdot h_g$ allein ist die Fläche des Parallelogramms, nicht des Dreiecks.
- Einheiten mischen: $g = 1{,}5\,\text{m}$ und $h_g = 80\,\text{cm}$ erst in dieselbe Einheit umrechnen.
Nur die drei Seiten bekannt?
Dann hilft die Formel des Heron. Mit dem halben Umfang $s = \frac{a + b + c}{2}$ gilt $A = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$. Für die Seiten 5, 6 und 7 cm ist $s = 9$ und $A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} \approx 14{,}70\,\text{cm}^2$. Der Rechner unten macht das automatisch, wenn Du alle drei Seiten einträgst.
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Stufe 1: Flächeninhalt aus g und h
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Aufgabe 1
Dreieck mit \(g = 5\,\text{cm},\) \(h_g = 10\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 5\,\text{cm},\) \(h_g = 10\,\text{cm}:\) \(A = 25\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 2
Dreieck mit \(g = 8{,}1\,\text{cm},\) \(h_g = 13\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 8{,}1\,\text{cm},\) \(h_g = 13\,\text{cm}:\) \(A = 52{,}65\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 3
Dreieck mit \(g = 6\,\text{cm},\) \(h_g = 5\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 6\,\text{cm},\) \(h_g = 5\,\text{cm}:\) \(A = 15\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 4
Dreieck mit \(g = 15\,\text{cm},\) \(h_g = 13\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 15\,\text{cm},\) \(h_g = 13\,\text{cm}:\) \(A = 97{,}5\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 5
Dreieck mit \(g = 6\,\text{cm},\) \(h_g = 10\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 6\,\text{cm},\) \(h_g = 10\,\text{cm}:\) \(A = 30\,\text{cm}^2\)
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Aufgabe 6
Dreieck mit \(g = 8{,}7\,\text{cm},\) \(h_g = 3\,\text{cm}:\) \(A\)cm²Dreieck mit \(g = 8{,}7\,\text{cm},\) \(h_g = 3\,\text{cm}:\) \(A = 13{,}05\,\text{cm}^2\)
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Arbeitsblatt: Dreieck: Flächeninhalt, Umfang und Höhe
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 6–7.
Alle Figuren im Überblick findest Du bei Umfang und Flächeninhalt, die verschiedenen Dreiecksarten bei Dreiecke.
Weiterlesen: Dreieck bei Wikipedia