Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren ersetzt Du in einer Gleichung eine Variable durch einen Term aus der anderen Gleichung. Übrig bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Das Verfahren lohnt sich, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable ohne Zahl davor vorkommt.
So gehst Du vor
- Auflösen: Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen – am besten die, bei der das ohne Brüche geht.
- Einsetzen: Den Term in die andere Gleichung einsetzen, und zwar in Klammern.
- Lösen: Klammer auflösen, zusammenfassen, nach der verbliebenen Variablen auflösen.
- Zurück einsetzen: Den Wert in den Term aus Schritt 1 einsetzen.
- Probe in beiden Gleichungen.
Beispiele
Beispiel 1: eine Gleichung ist schon aufgelöst
$\text{I: } y = 4x - 3 \qquad \text{II: } 2x + 3y = 19$
Probe in II: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 19$ ✓. Lösung: $\mathbb{L} = \{(2 \mid 5)\}$.
Beispiel 2: erst auflösen
$\text{I: } 3x + y = 10 \qquad \text{II: } 5x - 2y = 13$
In I steht $y$ ohne Zahl davor, also: $y = 10 - 3x$. Eingesetzt in II:
Dann $y = 10 - 3 \cdot 3 = 1$.
Beispiel 3: Kinokarten
Eine Gruppe aus 7 Personen zahlt im Kino 51 €. Eine Karte für Erwachsene kostet 9 €, für Kinder 6 €. Mit $e$ Erwachsenen und $k$ Kindern gilt:
$\text{I: } e + k = 7 \qquad \text{II: } 9e + 6k = 51$
Aus I: $e = 7 - k$. In II: $9\,(7 - k) + 6k = 51$, also $63 - 3k = 51$ und $k = 4$. Es waren 4 Kinder und $e = 3$ Erwachsene.
Typische Fehler
- Klammer vergessen: $5x - 2 \cdot 10 - 3x$ statt $5x - 2\,(10 - 3x)$ – dann stimmt das Vorzeichen bei $3x$ nicht.
- In dieselbe Gleichung eingesetzt: Setzt Du den Term in die Gleichung ein, aus der er stammt, bleibt nur $0 = 0$ übrig.
- Zweiten Wert vergessen: Die Lösung besteht aus zwei Zahlen, $x$ und $y$.
Ergibt sich am Ende ein Widerspruch wie $0 = 4$, hat das System keine Lösung; bleibt eine wahre Aussage wie $0 = 0$ stehen, gibt es unendlich viele Lösungen.
Online üben
Gib die Lösung als „x = 2; y = 5“ ein.
Stufe 1: eine Gleichung nach y aufgelöst
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Aufgabe 1
\(\text{I: }\; y = x + 9 \qquad \text{II: }\; -6x - y = 19\)\(x; y\)\(x = -4,\quad y = 5\)
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Aufgabe 2
\(\text{I: }\; y = 3x - 26 \qquad \text{II: }\; -5x + 4y = -55\)\(x; y\)\(x = 7,\quad y = -5\)
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Aufgabe 3
\(\text{I: }\; y = x - 12 \qquad \text{II: }\; 6x + 3y = 36\)\(x; y\)\(x = 8,\quad y = -4\)
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Aufgabe 4
\(\text{I: }\; y = -x + 4 \qquad \text{II: }\; x + 3y = 2\)\(x; y\)\(x = 5,\quad y = -1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Einsetzungsverfahren
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Andere Verfahren
Sind beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst, nimm das Gleichsetzungsverfahren. Ohne aufgelöste Gleichung ist das Additionsverfahren oft kürzer. Überblick über alle Verfahren: Lineare Gleichungssysteme.
Weiterlesen: Lineares Gleichungssystem bei Wikipedia