Quadratische Ergänzung
Mit der quadratischen Ergänzung bringst Du eine quadratische Gleichung in die Form $(x + d)^2 = e$. Dann musst Du nur noch die Wurzel ziehen. Dasselbe Verfahren liefert die Scheitelpunktform einer Parabel – und es steckt hinter der pq-Formel.
Die Idee: ein Quadrat vervollständigen
Der Term $x^2 + 6x$ ist fast ein vollständiges Quadrat. Im Bild besteht er aus dem Quadrat $x^2$ und zwei Streifen $3x$. Zum großen Quadrat mit der Seite $x + 3$ fehlt nur die kleine Ecke $3 \cdot 3 = 9$:
Die Zahl, die Du ergänzen musst, ist immer das Quadrat der halben Zahl vor $x$. Damit die Gleichung stimmt, addierst Du sie auf beiden Seiten. Rückwärts gelesen ist das die 1. bzw. 2. binomische Formel.
Gleichungen lösen in fünf Schritten
Beispiel: $x^2 - 8x + 7 = 0$
Also $x_1 = 4 - 3 = 1$ und $x_2 = 4 + 3 = 7$. Probe mit $x = 7$: $49 - 56 + 7 = 0$ ✓
Weitere Fälle
Zahl vor $x^2$ ist nicht 1: $3x^2 - 12x - 15 = 0$
Erst durch 3 teilen: $x^2 - 4x - 5 = 0$. Dann $x^2 - 4x = 5$, ergänzen mit $(-2)^2 = 4$: $(x - 2)^2 = 9$, also $x - 2 = \pm 3$ und $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.
Ungerade Zahl vor $x$: $x^2 + 5x + 4 = 0$
Die halbe Zahl ist $\frac{5}{2}$, ihr Quadrat $\frac{25}{4}$. Aus $x^2 + 5x = -4$ wird
Also $x_1 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$ und $x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$. Brüche sind hier kein Problem – rechne mit ihnen statt mit gerundeten Dezimalzahlen.
Ergebnis mit Wurzel: $x^2 - 6x + 2 = 0$
$x^2 - 6x = -2$, ergänzen mit 9: $(x - 3)^2 = 7$. Daraus $x = 3 \pm \sqrt{7}$, also $x_1 \approx 0{,}35$ und $x_2 \approx 5{,}65$.
Keine Lösung: $x^2 + 4x + 7 = 0$
$x^2 + 4x = -7$, ergänzen mit 4: $(x + 2)^2 = -3$. Ein Quadrat kann nie negativ sein – die Gleichung hat keine Lösung. Steht rechts genau 0, gibt es genau eine Lösung.
Typische Fehler
- Nur links ergänzt: Die Ergänzungszahl muss auch rechts dazu, sonst ist die Gleichung nicht mehr gleichwertig.
- Vorzeichen in der Klammer: Bei $x^2 - 8x$ heißt es $(x - 4)^2$, bei $x^2 + 8x$ dagegen $(x + 4)^2$.
- Nicht durch a geteilt: Die Regel „halbe Zahl vor x, quadriert“ gilt nur, wenn vor $x^2$ eine 1 steht.
- ± vergessen: Aus $(x - 4)^2 = 9$ folgt $x - 4 = 3$ oder $x - 4 = -3$.
Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung
Bei einer Funktion gibt es keine rechte Seite, auf der Du die Ergänzung addieren kannst. Deshalb addierst und subtrahierst Du sie im selben Term – unterm Strich bleibt der Wert gleich:
Aus der Scheitelpunktform $f(x) = (x - 4)^2 - 9$ liest Du den Scheitelpunkt $S(4 \mid -9)$ direkt ab. Die Nullstellen sind dieselben wie oben: 1 und 7. Ist der Faktor vor $x^2$ nicht 1, klammerst Du ihn zuerst aus. Das erledigt der Scheitelpunkt-Rechner mit Graph; Grundlagen zu Parabeln findest Du bei quadratischen Funktionen.
Woher die pq-Formel kommt
Machst Du die quadratische Ergänzung einmal mit Buchstaben statt Zahlen, erhältst Du die pq-Formel:
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt – genau wie die rechte Seite nach dem Ergänzen.
Online üben
Gib die Lösungen ein, z. B. „1; 7“. Mit „Neue Aufgaben“ bekommst Du andere Gleichungen.
Stufe 1: gerade Zahl vor x
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Aufgabe 1
\(x^{2} + 2x - 48 = 0\)\(\left(x + 1\right)^2 = 49\quad\Rightarrow\quad x_1 = -8,\ x_2 = 6\)
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Aufgabe 2
\(x^{2} - 6x - 7 = 0\)\(\left(x - 3\right)^2 = 16\quad\Rightarrow\quad x_1 = -1,\ x_2 = 7\)
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Aufgabe 3
\(x^{2} + 4x - 12 = 0\)\(\left(x + 2\right)^2 = 16\quad\Rightarrow\quad x_1 = -6,\ x_2 = 2\)
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Aufgabe 4
\(x^{2} + 14x + 45 = 0\)\(\left(x + 7\right)^2 = 4\quad\Rightarrow\quad x_1 = -9,\ x_2 = -5\)
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Aufgabe 5
\(x^{2} - 4x - 32 = 0\)\(\left(x - 2\right)^2 = 36\quad\Rightarrow\quad x_1 = -4,\ x_2 = 8\)
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Aufgabe 6
\(x^{2} - 12x - 13 = 0\)\(\left(x - 6\right)^2 = 49\quad\Rightarrow\quad x_1 = -1,\ x_2 = 13\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Quadratische Ergänzung
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 9–10.
Häufige Fragen
Wann nehme ich die quadratische Ergänzung statt der pq-Formel?
Beide liefern dieselben Lösungen. Die Ergänzung ist praktisch, wenn die Zahl vor $x$ gerade ist, wenn Du zusätzlich den Scheitelpunkt brauchst oder wenn die Aufgabe ausdrücklich nach dem Verfahren fragt. Für schnelle Ergebnisse ist die pq-Formel kürzer.
Was genau wird „ergänzt“?
Das Quadrat der halben Zahl vor $x$. Erst dadurch wird aus $x^2 + px$ ein vollständiges Quadrat $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$.
Geht das auch bei Gleichungen ohne $x$-Glied?
Bei $x^2 - 9 = 0$ gibt es nichts zu ergänzen: $x^2 = 9$, also $x = \pm 3$. Fehlt dagegen die Zahl ohne $x$ (z. B. $x^2 - 5x = 0$), ist Ausklammern schneller: $x(x - 5) = 0$.
Weiterlesen: Quadratische Ergänzung bei Wikipedia