Produktregel
Die Produktregel brauchst Du, wenn zwei Funktionen miteinander malgenommen werden – zum Beispiel $x^3 \cdot e^x$ oder $x \cdot \ln(x)$. Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, während der andere stehen bleibt.
Die Regel
Warum nicht einfach beide Faktoren ableiten? Ein schneller Gegenbeweis: $f(x) = x \cdot x = x^2$ hat die Ableitung $2x$. Das Produkt der Ableitungen wäre aber $1 \cdot 1 = 1$ – falsch. Mit der Produktregel stimmt es: $1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$.
Anschaulich: Stell Dir ein Rechteck mit den Seiten $u$ und $v$ vor. Wachsen beide Seiten ein kleines Stück, kommt an der einen Seite ein Streifen $u' \cdot v$ und an der anderen ein Streifen $u \cdot v'$ dazu. Das winzige Eckstück fällt bei der Ableitung nicht ins Gewicht.
Das Schema
Schreib Dir vor dem Zusammensetzen die vier Bausteine auf – so passieren kaum Fehler:
| Funktion | $u$ | $u'$ | $v$ | $v'$ |
|---|---|---|---|---|
| $x^3 \cdot e^x$ | $x^3$ | $3x^2$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $x \cdot \ln(x)$ | $x$ | $1$ | $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $(2x - 1) \cdot \cos(x)$ | $2x - 1$ | $2$ | $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
Beispiele
Beispiel 1: $f(x) = x^3 \cdot e^x$
Ausklammern von $e^x$ lohnt sich fast immer – zum Beispiel, wenn Du danach Nullstellen der Ableitung suchst.
Beispiel 2: $f(x) = x \cdot \ln(x)$
Beispiel 3: $f(x) = (2x - 1) \cdot \cos(x)$
Das Minus aus $v' = -\sin(x)$ gehört vor den ganzen zweiten Summanden – Klammer um $2x - 1$ nicht vergessen.
Beispiel 4: Produkt- und Kettenregel zusammen
$f(x) = x \cdot e^{-2x}$: Hier ist $v = e^{-2x}$ selbst verkettet, also $v' = -2e^{-2x}$ (Kettenregel).
Drei Faktoren
Bei drei Faktoren wird reihum jeweils einer abgeleitet:
Beispiel: $\big(x \cdot e^x \cdot \sin(x)\big)' = e^x \sin(x) + x e^x \sin(x) + x e^x \cos(x)$.
Typische Fehler
- Produkt der Ableitungen: $(u \cdot v)' \neq u' \cdot v'$ – siehe das Gegenbeispiel $x \cdot x$ oben.
- Produktregel bei Zahlfaktoren: Für $5 \cdot x^3$ reicht die Faktorregel: $15x^2$. Die Produktregel liefert dasselbe, ist aber ein Umweg.
- Erst ausmultiplizieren? Bei Polynomen wie $(x + 2)(x^2 - 1)$ geht beides. Ausmultiplizieren und mit der Potenzregel ableiten ist oft kürzer.
Mit Rechenweg ableiten
Online üben
Gib die Ableitung ein, z. B. e^x*(x^3+3x^2). Jede richtige Schreibweise wird erkannt – Du musst nicht genau so vereinfachen wie die Musterlösung.
Stufe 1: Potenz mal e^x, sin oder cos
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Aufgabe 1
\(f(x) = x^{6}\,e^{x}\)\(f'(x) = e^{x}\left(x^{6} + 6x^{5}\right)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = (-x + 6)(3x + 6)\)\(f'(x) = -6x + 12\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = x^{2}\sin(x)\)\(f'(x) = 2x\sin(x) + x^{2}\cos(x)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = x^{3}\sin(x)\)\(f'(x) = 3x^{2}\sin(x) + x^{3}\cos(x)\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = (-3x + 1)(-x - 7)\)\(f'(x) = 6x + 20\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Produktregel
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Alle Ableitungsregeln im Überblick: Ableitungsregeln. Für Brüche gibt es die Quotientenregel.
Weiterlesen: Produktregel bei Wikipedia