Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren addierst Du die beiden Gleichungen so, dass eine Variable herausfällt. Damit das klappt, nimmst Du die Gleichungen vorher mit passenden Zahlen mal. Das Verfahren ist besonders praktisch, wenn beide Gleichungen in der Form $ax + by = c$ vorliegen.
So gehst Du vor
- Ordnen: In beiden Gleichungen stehen $x$ und $y$ links in derselben Reihenfolge, die Zahl rechts.
- Passend malnehmen: Eine oder beide Gleichungen so multiplizieren, dass vor einer Variablen entgegengesetzte Zahlen stehen (z. B. $+6y$ und $-6y$).
- Addieren: Linke Seite plus linke Seite, rechte Seite plus rechte Seite – die Variable fällt weg.
- Lösen und den Wert in eine Ausgangsgleichung einsetzen.
- Probe in beiden Gleichungen.
Warum das erlaubt ist: Auf beiden Seiten einer Gleichung steht derselbe Wert. Addierst Du zu Gleichung II links den Term und rechts den Wert von Gleichung I, addierst Du auf beiden Seiten das Gleiche.
Beispiele
Beispiel 1: direkt addieren
$\text{I: } 4x + 3y = 18 \qquad \text{II: } 2x - 3y = 0$
Vor $y$ stehen schon $+3$ und $-3$:
Beispiel 2: eine Gleichung malnehmen
$\text{I: } 2x + 5y = 1 \qquad \text{II: } 4x + 3y = 9$
Mit $\text{I} \cdot (-2)$ wird aus $2x$ die Gegenzahl von $4x$:
In I: $2x - 5 = 1$, also $x = 3$. Lösung: $\mathbb{L} = \{(3 \mid -1)\}$.
Beispiel 3: beide Gleichungen malnehmen
$\text{I: } 5x + 2y = 16 \qquad \text{II: } 3x - 7y = -15$
Für $y$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 7 gleich 14. Also $\text{I} \cdot 7$ und $\text{II} \cdot 2$:
In I: $10 + 2y = 16$, also $y = 3$. Probe in II: $6 - 21 = -15$ ✓
Tipp: Subtrahieren geht auch
Stehen vor einer Variablen gleiche Zahlen (z. B. $3x$ in beiden Gleichungen), kannst Du die Gleichungen auch voneinander abziehen. Das ist dasselbe wie „mit $-1$ malnehmen und addieren“ – achte dann besonders auf die Vorzeichen.
Sonderfälle
Fallen beim Addieren beide Variablen weg, bleibt eine Aussage ohne Variable übrig. Ist sie falsch (z. B. $0 = 5$), hat das System keine Lösung. Ist sie wahr ($0 = 0$), gibt es unendlich viele Lösungen.
Online üben
Gib die Lösung als „x = 3; y = 2“ ein.
Stufe 1: direkt addieren
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Aufgabe 1
\(\text{I: }\; -5x + 5y = -10 \qquad \text{II: }\; 5x + y = -8\)\(x; y\)\(x = -1,\quad y = -3\)
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Aufgabe 2
\(\text{I: }\; -x + 4y = 33 \qquad \text{II: }\; 6x - 4y = -58\)\(x; y\)\(x = -5,\quad y = 7\)
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Aufgabe 3
\(\text{I: }\; -2x - y = 5 \qquad \text{II: }\; -6x + y = 3\)\(x; y\)\(x = -1,\quad y = -3\)
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Aufgabe 4
\(\text{I: }\; 3x - 5y = 26 \qquad \text{II: }\; -3x - y = -20\)\(x; y\)\(x = 7,\quad y = -1\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Additionsverfahren
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 8–9.
Andere Verfahren
Für drei Gleichungen wird das Additionsverfahren zum Gauß-Verfahren – erklärt bei Lineare Gleichungssysteme. Ist eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst, sind Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren schneller.
Weiterlesen: Lineares Gleichungssystem bei Wikipedia