Kettenregel
Die Kettenregel ist die Regel für „Funktionen in Funktionen“. Steckt in einer Klammer, einem Exponenten oder einem Funktionsargument mehr als nur $x$, brauchst Du sie: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Innere und äußere Funktion erkennen
Frag Dich: Was würde ein Taschenrechner zuletzt ausrechnen? Das ist die äußere Funktion. Was in sie hineingegeben wird, ist die innere Funktion.
| Funktion | innere Funktion $v(x)$ | äußere Funktion $u(v)$ |
|---|---|---|
| $(5x - 2)^3$ | $5x - 2$ | $v^3$ |
| $e^{x^2 - 3x}$ | $x^2 - 3x$ | $e^v$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $x^2 + 1$ | $\ln(v)$ |
| $\sqrt{1 - x}$ | $1 - x$ | $\sqrt{v}$ |
Die Regel
In Worten: Leite die äußere Funktion ab und lass die innere Funktion dabei unverändert stehen. Dann multiplizierst Du mit der Ableitung der inneren Funktion – der „Nachdifferenzierung“. In der Schreibweise von Leibniz sieht man, warum das passt: $\frac{df}{dx} = \frac{df}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$.
Beispiele
Beispiel 1: $f(x) = (5x - 2)^3$
Ausmultiplizieren wäre hier viel aufwendiger.
Beispiel 2: $f(x) = e^{x^2 - 3x}$
Die e-Funktion bleibt beim Ableiten gleich, die innere Ableitung ist $2x - 3$:
Beispiel 3: $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ und $g(x) = \sqrt{1 - x}$
Beispiel 4: mehrfach verkettet
$f(x) = \big(\sin(4x)\big)^2$ hat drei Schichten: Quadrat außen, Sinus in der Mitte, $4x$ innen. Jede Schicht liefert einen Faktor:
Abkürzung für lineare innere Funktionen
Ist die innere Funktion $ax + b$, ist die innere Ableitung einfach $a$: $\big(\cos(3x + 1)\big)' = -3\sin(3x + 1)$, $\left(e^{-0{,}5x}\right)' = -0{,}5\,e^{-0{,}5x}$.
Typische Fehler
- Innere Ableitung vergessen: $\big((5x - 2)^3\big)' \neq 3(5x - 2)^2$ – der Faktor 5 fehlt.
- Innere Funktion mit abgeleitet: In der äußeren Ableitung bleibt $v(x)$ stehen: $e^{x^2 - 3x}$, nicht $e^{2x - 3}$.
- Produkt übersehen: Bei $x \cdot e^{2x}$ brauchst Du zusätzlich die Produktregel.
Mit Rechenweg ableiten
Online üben
Gib die Ableitung ein, z. B. 15(5x-2)^2. Jede richtige Schreibweise wird erkannt.
Stufe 1: lineare innere Funktion
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Aufgabe 1
\(f(x) = \sin(-2x + 5)\)\(f'(x) = -2\cos(-2x + 5)\)
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Aufgabe 2
\(f(x) = (-3x - 6)^{7}\)\(f'(x) = -21(-3x - 6)^{6}\)
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Aufgabe 3
\(f(x) = \cos(5x - 2)\)\(f'(x) = -5\sin(5x - 2)\)
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Aufgabe 4
\(f(x) = e^{4x + 4}\)\(f'(x) = 4e^{4x + 4}\)
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Aufgabe 5
\(f(x) = \cos(-2x - 9)\)\(f'(x) = 2\sin(-2x - 9)\)
Tippe Deine Lösung ein und klicke auf „Prüfen“ (oder drücke Enter). Brüche als 3/4, Dezimalzahlen mit Komma, mehrere Lösungen mit ; trennen, Potenzen als x^2, Wurzeln als sqrt(5). Punkte: 10 für richtig beim ersten Versuch, 6 nach einem Fehlversuch, 5 mit Tipp, 0 wenn Du Dir vorher die Lösung anschaust. Deine Punkte und Abzeichen siehst Du unter Mein Training.
Arbeitsblatt: Kettenregel
Eine volle DIN-A4-Seite Aufgaben mit Lösungsblatt zum Ausdrucken – bei jedem Klick neue Aufgaben. Klasse 11–12.
Alle Ableitungsregeln mit der Tabelle der wichtigsten Ableitungen: Ableitungsregeln. Für Brüche: Quotientenregel.
Weiterlesen: Kettenregel bei Wikipedia